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Aufgabe:Ein Kreis wird durch 4 gerade Schnitte in 4 kongruente Teilstücke und ein Quadrat zerlegt. Alle 5 Teilstücke sollten flächengleich sein (siehe Abbildung). Welches Längenverhältnis haben AB und BC (auf 3 Nachkommastellen genau)?

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Unbenannt.png

Wegen der Flächengleichheit gilt  AB²=π r²/5.

Die rote Fläche ist 0,25*(π r²-(r*√2)²) = 0,25*(5AB²-10AB²/π)

Die gelbe Fläche ist einerseits 0,5*(AB+BC)*BC, andererseits die Differenz aus der grünen Fläche AB² und der roten Fläche.

Beide Terme gleichsetzen, vereinfachen...


Zweiter Weg:Unbenannt.png

Mit r²=5AB²/π folgt nach Pythagoras

5AB²/π=0,25 AB² + (0,5AB + BC)²

5AB²/π=0,25 AB² + 0,25AB² + AB*BC+ BC²

0=(0,5-5/π) AB²  + AB*BC+ BC²

0= (BC/AB)²  + BC/AB  +  0,5-5/π

BC/AB = -0,5 ± √(5/π  -0,25)

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