Rekursive Folge mit Wurzel: x_{n+1} = √(5x_{n})

Question

Aufgabe:

a) Betrachten Sie die für n ∈ ℕ rekursiv durch

$$x _ { n + 1 } = \sqrt { 5 x _ { n } } , \quad x _ { 1 } > 0$$

definierte Folge \( \left( x _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } \) mit fest vorgegebenem \( x _ { 1 } > 0 \).

b) Zeigen Sie, dass \( x _ { n } \in ( 0,5 ) \) für alle n ∈ ℕ gilt. Hilft diese Erkenntnis bei der Entscheidung, welches der x aus (a) der richtige Grenzwert ist?

\( x_1 < 5 \) angenommen.

Answer 1

0 < √(5·x(n)) < 5

0 < 5·x(n) < 25

0 < x(n) < 5

Solange x(n) im Intervall (0 ; 5) liegt, liegt auch x(n + 1) in diesem Intervall.

Comments

ist 5 der Grenzwert ? 

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Ja, Dazu solltest du aber noch zeigen das fie Folge streng monoton steigend ist für 0 < x(n) < 5

Also zeige

√(5·x(n)) > x(n)

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Danke ...hab es versucht aber kein Glück :(

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√(5·x(n)) > x(n)

5·x(n) > x(n)^2

x(n)^2 - 5·x(n) < 0

x(n)·(x(n) - 5) < 0

x(n) > 0 und x(n) - 5 < 0 → x(n) < 5

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du meinst : 

X₁ < 5 → √5.x_n < 5

oder ?

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@ Ja. der Startwert x1 muss auch aus dem Intervall (0 ; 5) stammen, denn nur dann sind die Nachfolger auch in diesem Intervall.

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aber woher kommt :

0 < √(5·x(n)) < 5

0 < √(5·x(n))  : ist klar

aber √(5·x(n)) < 5 ?

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x(n) und damit auch x(n+1) soll aus dem Intervall (0 ; 5) sein gemäß Aufgabe.