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Aufgabe:

Sei p: R → R eine polynomiale Funktion, welche nur positive Werte annimmt. Zeigen Sie, dass p ein Minimum besitzt.


Ich denke, ich soll das mit dem Satz vom Maximum und Minimum lösen, weiss jedoch nicht wie.

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Sei p: R → R eine polynomiale Funktion

Dann gilt limx→∞ f(x) = ∞ oder limx→∞ f(x) = -∞.

welche nur positive Werte annimmt.

Dann kann limx→∞ f(x) = -∞ nicht sein, weil es dazu ein x ∈ℝ geben müsste, so dass f(x) < 0 ist.

Also ist

        limx→∞ f(x) = ∞.

Analog dazu ist auch

        limx→-∞ f(x) = ∞.

Angenommen f(0) ist nicht das Minimum. Sei dann x1 ∈ ℝ, so dass

        f(x1) = f(0) und f(x) > f(x1) für alle x < x1.

x1 existiert wegen limx→-∞ f(x) = ∞. Ferner sei x2 ∈ ℝ, so dass

        f(x2) = f(0) und f(x) > f(x2) für alle x > x2.

x2 existiert wegen limx→∞ f(x) = ∞. Laut dem Satz vom Maximum und Minimum bestitzt f ein Minimum im Intervall [x1, x2].

Laut Definition von x1 und x2 ist dieses Minimum ein absolutes Minimum von f auf ℝ.

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Hat mir extrem weitergeholfen!

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