Wie mit einer Gleichung lösen? Wie viele Prozente hat er jährlich gewonnen?

Question

Aufgabe:

Ein Geschäftsmann beginnt mit einem Kapital von Fr. 2000.- einen Briefmarkenhandel. Den Gewinn des ersten Jahres schlägt er zum vollen Kapital. Im zweiten Jahr gewinnt er einen gleich hohen Prozentsatz, wodurch das Kapital auf Fr. 2645.- anwächst. Wie viele Prozente hat er jährlich gewonnen?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Im zweiten Jahr gewinnt er einen gleich hohen Prozentsatz

Den bezeichne ich mit p%.

Den Gewinn des ersten Jahres

Der ist dann 2000 · p%.

schlägt er zum vollen Kapital

Kapital ist dann 2000 + 2000 · p% = 2000 · (1 + p%).

Im zweiten Jahr gewinnt er einen gleich hohen Prozentsatz

Also das gleiche noch mal mit veränderten Grundwert (2000·(1+p%) anstatt 2000):

Gewinn ist 2000·(1+p%) · p%.

Endkapital ist dann 2000·(1+p%) + 2000·(1+p%) · p%.

Distributivgesetz ergibt dann

        2000·(1+p%)·(1 + p%) = 2000·(1+p%)²

als Endkapital.

wodurch das Kapital auf Fr. 2645.- anwächst

Also muss

        2000·(1+p%)² = 2645

sein. Löse die Gleichung.

Answer 2

2000·(1 + p)^2 = 2645

p = (2645/2000)^(1/2) - 1 = 0.15 = 15%