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Berechne den kürzesten Abstand Zwischen f(x)=2x^2 und Geraden f(x)=x-4

Danke im voraus .

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Ich denke, dazu muss die Verbindung zwischen

Gerade und Parabel auf beiden senkrecht stehen.

Gerade hat Steigung 1, also muss die

Verbindung Steigung -1 haben, also die

Parabel an dem Punkt Steigung 1.

Steigung der Parabel ist f ' (x) = 4x und das

ist 1 wenn     4x = 1, also x = 1/4.

Also im Punkt  (  1/4  ; 1/8 )

Dort mit Steigung -1 abgehend gibt die Verbindungsgerade

y = -x + n  und   (  1/4  ; 1/8 )  eingesetzt gibt

1/8 = - 1/4 + n    also n= 3/8

y = - x + 3/8  trifft die gegebene Gerade   wenn

- x + 3/8 = x-4    ==>    x = -35/16  also im Punkt  ( 35/16  ;  - 29/16 ).

Dann ist der Abstand der beiden Punkte (und das ist ja

der gesuchte Abstand )

√ ( ( 35/16  - 1/4)^2 + (-29/16-1/8)^2 ) = 31/16 *√2 ≈2,74

sieht so aus:

~plot~ 2x^2;x-4;-x+3/8 ~plot~


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99/16 erscheint mir nicht richtig, wenn ich mir die Skizze ansehe.

Wie groß ist denn nun der kleinste Abstand? Das hast du gar nicht ausgerechnet.

Verstehe.

Sie haben  m*m=-1  und dann eingesetzt um x zu finden usw ..

Vielen Dank aber wie kann ich den kleinsten Abstand ?

Sie haben die Schnittstelle  der Geraden berechnet aber der Abstand nicht oder?

- x + 3/8 = x-4    ==>    x = -35/16

Ich denke da ist ein Vorzeichenfehler drin. Man sieht ja bereits an der Skizze, dass der Schnittpunkt im positiven x-Bereich sein muss.

Oh ja, das korrigiere ich mal.

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der Abstand zwischen den Funktionen ist definiert durch \(d=|f_1(x)-f_2(x)|\). Diese Funktion muss minimiert werden.

Tipp: Quadriere die Funktion, um die Betragszeichen zu verlieren. Leite ab, berechne \(f'(x)=0\), entscheide mit \(f''(x_E)\), ob Minimum oder Maximum.

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Das ist leider nicht richtig. Der kürzeste Abstand ist nicht unbedingt eine vertikale Linie.

Warum denkst du, dass es vertikal ist?

Wenn du den einen funktionswert Minus den anderen rechnest ist es vertikal oder?

Hast recht, aber dann ist es eben die kürzeste vertikale Strecke :D

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Ich habe mal ein Kontrollergebnis berechnet.

f'(x) = g'(x)
4·x = 1 → x = 1/4

f(1/4) = 1/8

n(x) = -1/f'(1/4)·(x - 1/4) + f(1/4) = 3/8 - x

n(x) = g(x)
3/8 - x = x - 4 → x = 35/16
n(35/16) = g(35/16) = -29/16

d = √((1/4 - 35/16)^2 + (1/8 - (-29/16))^2) = 31/16·√2 = 2.740 LE

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