Nullstellen berechnen - Trigonometrische Funktion

Question

Aufgabe: Berechne die Nullstellen von:$$f(x)=100 \cdot \cos(2(x+\pi)) \quad I[0,2\pi]$$

Problem/Ansatz: $$\begin{aligned} 100\cdot \cos(2(x+\pi))&=0 &&|\div 100 \\ \cos(2(x+\pi))&=0 \\ &?\end{aligned}$$

... wie löst man es dann weiter???

Answer 1

cos(2(x+π))=0

⇒ 2(x+π) = (n+1/2)π für ein n ∈ℤ

⇒ x+π = (n/2+1/4)·π für ein n ∈ℤ

⇒ x = (n/2-3/4)·π für ein n ∈ℤ

0 ≤ (n/2-3/4)·π ≤ 2·π

⇒ 0 ≤ n/2 - 3/4 ≤ 2

⇒ 3/4 ≤ n/2 ≤ 11/4

⇒ 3/2 ≤ n ≤ 11/2

x ∈ {z∈ℝ | ∃n∈ℕ: 3/2 ≤ n ≤ 11/2 ∧ z = (n/2-3/4)·π}

Comments

Schülergerechte Schreibweise ;)

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Ich habe das auf der Schule so gelernt. Allerdings hatten wir damals noch Mathematikunterricht. Heutzutage hat man ja nur noch Rechnen.

Formal	"Schülergerecht"
x	x
∈	ist eine Element von
{	der Menge
z∈ℝ	aller reellen Zahlen z
|	für die gilt:
∃n∈ℕ	Es gibt eine natürliche Zahl n
:	so dass
3/2 ≤ n ≤ 11/2	n zwischen 3/2 und 11/2 liegt (inklusive)
∧	und
z = (n/2-3/4)·π	z lässt sich darstellen als (n/2-3/4)·π

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Danke für die Antwort

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Die Nullstellen bei cos sind pi/2 & 3pi/2

Diese wurden dann mit der 2 multipliziert, deshalb kommt man auf pi/4 und 3pi/4 aber wie kommt man auf 5pi/4 und 7pi/4?

Was wäre wenn ich ein Intervall von [0;10pi] hätte ... wie würde man dann es rechnen?

Answer 2

Ich würde zuerst vereinfachen

\(100\cos (2x)=0\)

Dann durch 100 dividieren

\(\cos(2x)=0\)

Jetzt müsste man wissen, wo die Nullstellen der cos Funktion sind: π/2, 3π/2 etc. Durch das mal 2 im Argument wird die Periode allerdings um das 2-fache in x-Richtung gestaucht. Also gibt es doppelt so viele:

π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 für [0,2π]

Allgemein kann man sagen:

\(x=\dfrac{\pi n}{2} + \dfrac{\pi}{4}, \; n \in ℤ\)

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Danke für die Antwort

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Die Nullstellen bei cos sind pi/2 & 3pi/2

Diese wurden dann mit der 2 multipliziert, deshalb kommt man auf pi/4 und 3pi/4 aber wie kommt man auf 5pi/4 und 7pi/4?

Was wäre wenn ich ein Intervall von [0;10pi] hätte ... wie würde man dann es rechnen?

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Entweder du addierst einfach immer zwei im Zähler dazu:

...,7π/4, 9π/4, 11π/4,...

Oder mit der Formel:

\(\dfrac{\pi}{4},\;\dfrac{\pi \cdot 1}{2} +\dfrac{\pi}{4},\;\dfrac{\pi \cdot 2}{2} +\dfrac{\pi}{4}\)

bis zu 39π/4 (denn 40π/4 = 10π). Wenn du das per Hand aufschreibst, kannst du es entweder sehen oder kurz ausrechnen, oder oder du stellst die oben geschriebene Formel in einer Ungleichung so um, dass sie kleiner gleich 10π ist. Daraus würde folgen, dass dein n ≤ 39/2 sein müsste.

Answer 3

Zunächst bestimmt (kennt) man die Nullstellen von cos(u). Die heißen u=(2k-1)π/2 für ganze Zahlen k. Dann muss (2k-1)π/2=2(x+π) sein. Dies nach x auflösen.

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Danke für die Antwort