Bestimme den Rang von A und bestimme S,T sodass gilt: SAT = Matrix{E_{r} 0 | 0 0}

Question

Ich will folgenden Aufgabe lösen habe aber den Faden verloren:

$$\text{Sei } A \in \text{Mat}(4;\mathbb{Q}) \land \\ A=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 0 &1\\ 0 & 2 & 3 & 0\\0 & 3 & 3 & 0\\ 5 & 5 & 3 &2 \end{pmatrix} \\[20pt] \text{(1) Bestimmen Sie den Rang r von A } \\\text{(2) sowie Matrizen } S,T \in \text{Mat}(4;\mathbb{Q}) \text{ für die gilt,dass:} \\ SAT=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Also den Rang von A habe ich schnell bestimmt:

$$\text{(1) } \\\begin{pmatrix} 1 & 6 & 0 &1\\ 0 & 2 & 3 & 0\\0 & 3 & 3 & 0\\ 5 & 5 & 3 &2 \end{pmatrix} \\\begin{pmatrix} 1 & 6 & 0 &1\\ 0 & 2 & 3 & 0\\0 & 3 & 3 & 0\\ 0 & -25 & 3 &-3 \end{pmatrix} \\\begin{pmatrix} 1 & 6 & 0 &1\\ 0 & 1 & 1,5 & 0\\0 & 0 & -1,5 & 0\\ 0 & 0 & 40,5 &-3 \end{pmatrix} \\\begin{pmatrix} 1 & 6 & 0 &1\\ 0 & 1 & 1,5 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &-3 \end{pmatrix} \Longrightarrow \text{Rang A}=4$$

Bei Punkt 2 bin ich jedoch verwirrt

Wenn ich es richtig verstanden habe:

$$SAT=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow SAT= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0 &0 &0 &0 &0 &0\\ 0 & 0 & 1 &0 &0 &0 &0 &0\\ 0 & 0 & 0 &1 &0 &0 &0 &0\\ 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &0\\ 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &0\\ 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &0\\ 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &0\end{pmatrix}$$

Also muss das Produkt von SA das Inverse von T sein. Ich verstehe jedoch nicht wie ich genau S und T bestimmen soll.

Ich habe nachgeschaut und erfahren dass man die Transformationsformel anwenden soll:

$$M_C^B (\phi):= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \end{pmatrix}=P_C^{E_4}*A*P_{E_4}^{B} \\\text{Aber wie genau baue ich }\\ S=P_C^{E_4} \land T=P_{E_4}^{B} \text{ und bestimme den Inhalt dieser Matrizen?}$$

Comments

Da A vollen Rang hat und quadratisch ist, existiert die Inverse. Wähle z.B. S = A^-1 und T = E₄.

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Vielen Dank für deine Antwort !

Also muss ich die Inverse von A bilden (z.B via Gauss-Jordan).

S= inverse von A

und T= meine Einheitsmatrix (4;Q)

Dann habe ich das folgende:

$$\text{(1) } S=A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{-2} {3} & \frac{-10}{3}& 3 &\frac{1}{3} \\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & \frac{-2}{3} & 0\\ \frac{5} {3} & \frac{-28}{3} & -9 & \frac{-1}{3}\end{pmatrix} \\ \text{(2) } T= E_4 \\ \text{(1) und (2) } \Longrightarrow SAT= \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Ist damit die Aufgabe beendet oder muss ich da noch was machen?

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Damit ist die Aufgabe m.E. hinreichend gelõst. Beachte, dass r = 4 bereits maximal und damit SAT = E₄ ist.

Answer 1

Der Rang ist 4. Also ist A invertierbar und zwar ist A^(-1) =

-2/3      -10/3        3        1/3
0              -1         1           0
0               1         -2/3        0
5/3        28/3        -9          -1/3

Und es ist  A^(-1) * A * E   = E

also eine Matrix der geforderten Art, wobei die

0en am Rand wegfallen, da eben r=4  und A selber eine 4x4

Matrix ist.

Damit kannst du für S=A^(-1) und für T = E nehmen.

Comments

Also muss ich nur die Inverse von A bestimmen und Ihr die Variabel S und der Einheitsmatrix vom Rang 4 T zuordnen.

Dann gilt: $$SAT= \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$$ SAT= \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow SAT=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 &0\\ 0& 0 & 1& 0\\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix}$$

Das gilt weil der Rang von der Kätschenform 4 bleibt und der Rang der Einheitsmatrix auch 4 ist.

Ich dachte die Aufgabe wäre komplizierter, weil sie 25% des Übungsblattes in Punkten Wert ist. Vermutlich liegt es darin, dass man die Zeilenstufenform sowie via Gauss-jordan die Inverse bestimmen soll und das eine Weile dauert.

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Das wäre eine Erklärung.  Oder vielleicht, dass es ein ungewöhnlicher

Fall ist, weil eben der Rang=4 ist und somit keine

0en am Rand auftauchen.  Oder vielleicht ein

Tippfehler in der Matrix ?

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Ich glaube die genaue Definition dazu warum das gilt befindet sich in Def. der general linear group:

$$\forall 0 \neq A\in K^{m \times n} \exists (U \in GL(m,K) \land V \in GL(n,K))\\\Longrightarrow UAV=\begin{pmatrix} E_r & 0  \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$