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Aufgabe:

\( \text{Für die quadratischen Matrizen } A,B \in \text{Mat}(n;\mathbb{K})\text{ gelte:} \\ A*B=0 \\[10pt]\text{(1) Zeigen Sie:} \\ AB=0 \Longrightarrow \text{Rang}(A) + \text{Rang} (B) \leq n \)

\( \text{(2) Geben Sie } \forall n\in \mathbb{N} \text{ Beispiele solcher Matrizen mit: Rang (A) + Rang (B) } \leq n \land A\neq0 ,B\neq 0 \text{ an.} \)


Problem/Ansatz:

Ich hatte bei (1) die Dimensionsformel zu benutzen. Jedoch ist es mir noch nicht ganz gelungen die Definition aus den Skript:

$$(\text{Im } A:= \{Ax; x\in \mathbb{K}^n\}= \text{Im }h_A) \land (\text{Ker } A:= \{x; Ax=0\}= \text{Ker }h_A)\Longrightarrow \text{dim Ker A + Rang A = n} \\[10pt]\text{Für quadratische Matrizen } A\in \mathbb{K}^{n \times n}: \\\text{Ker A}=\{0\} \Longleftrightarrow \text{Im A =}\mathbb{K}^n \Longleftrightarrow \text{Rang A= n}$$


hierauf zu transferieren:

$$n:=\text{dim Ker A + Rang A+ dim Ker B + Rang B} \\AB=0 \Longrightarrow \text{Rang}(A) + \text{Rang} (B) \leq n \\\Longleftrightarrow \text{Rang}(A) + \text{Rang} (B) \leq \text{dim Ker A + Rang A+ dim Ker B + Rang B}$$


Jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich die z.z Beziehung beweisen soll.

Bei (2) verstehe ich nicht genau vorgehen soll...

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1 Antwort

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Für (2) kannst du doch immer die Matrix  A nehmen, die

links oben ne 1 und sonst alles 0en hat.

Und für B die gleiche..

Die haben beide den Rang 1.

Also ist rang(A)+rang(B)= 2  und

das ist für alle n>1 jedenfalls kleiner oder gleich n.

Für nn = 1 hätte ich allerdings keine Idee, und würde sogar meinen,

dass die Aussage da falsch ist, denn wenn dann

rang(A) + rang(B) ≤ n gelten soll, muss ja wohl einer

der Ränge 0 sein, und das hat doch nur die 0-Matrix, aber

die soll es ja gerade nicht sein???

Avatar von 287 k 🚀

Vielen Dank für Ihre Hilfe.


Ich bitte um Verzeihung, mir ist beim tippen ein Fehler passiert.

Die Aussage bei (2) lautet wie folgt:

$$\text{(2) Geben Sie } \forall n\in \mathbb{N} \text{ Beispiele solcher Matrizen mit: Rang (A) + Rang (B) } = n \land A\neq0 ,B\neq 0 \text{ an.}$$

Wenn ich richtig verstanden habe, muss ich bei (2) dann so vorgehen:

$$\text{Sei } A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \land B= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\\Longrightarrow \text{Rang} A=1 \land \text{Rang} B=1 \\ \Longrightarrow\text{Rang (A) + Rang (B)=2}$$


Stimmt bei (1) mein Beweisweg oder wahr zumindest mein Ansatz richtig? XD

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