Invertierbarkeit bei linear unabhängigen Spalten der Abbildungsmatrix.

Question

Aufgabe:Zeige dass eine lineare Abbildung f zwischen zwei Vektorräumen über R mit der selben Dimension genau dann invertierbar ist, wenn die Spalten ihrer Abbildungsmatrix Mf linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz: Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der lin. unabhängigen Zeilen oder Spalten. Wenn zwei Abbildungen diesselbe Dimension haben, müssen beide gleich viel linear unabhängige Spalten enthalten. Aber "genau dann" impliziert ja, dass es nur dann der Fall ist und bspw. Vektorräume mit unterschiedlich vielen Freiheitsgeraden nicht invertierbar wären? Sind sie aber doch?

Comments

Hallo

 was verstehst du unter "Freiheitsgraden" von VR, man will doch nicht VR invertieren  sondern lineare  Abbildungen hier also Matrices

nicht die Abb. haben dieselbe Dimension, sondern die VR die aufeinander abgebildet werden. So wie du schreibst bringst du zu viel durcheinander.

 auch der Satz "Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der lin. unabhängigen Zeilen oder Spalten" Zeilen und Spalten hat eine Matrix, der VR hat eine Maximalzahl linear unabhängige. Vektoren, das ist sein Dimension ,

Gruß ledum.

---

Du sagst, der Vektorraum hat eine Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren als Dimension.

Dann sind die Vektoren mit gleicher Anzahl lin. unabhängiger Vektoren Vektoren dersselben Dimension?

Ich verstehe nicht, wie das in Bezug auf die Invertierbarkeit der Matrix gesetzt werden soll

Answer 1

Bei einer linearen Abbildung f: V → W sind die Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten die

man zur Darstellung Bilder der in V gewählten Basisvektoren mit der in W gewählten

Basis braucht.

Wenn diese Spalten linear unabhängig sind wird nur der 0-Vektor von V

auf den Nullvektor von W abgebildet, also ist der Kern der Abbildung {0} und

damit ist f umkehrbar, also die Matrix invertierbar.

Wenn umgekehrt die Matrix invertierbar ist, ist das Urbild jeder Basis von

W auch eine Basis von V, also sind die Spalten der Matrix linear unabhängig.