Question

Wie definieren auf Mat_m×n(K) eine Relation: Schreibe A ∼ B
wenn es ein S ∈ GL_m(K) und T ∈ GL_n(K) gibt so, dass B = SAT.
(i) Verifizieren Sie, dass es sich dabei um eine Aquivalenzrelation handelt. ¨
(ii) Zeigen Sie mithilfe des Rangs von Matrizen, dass es genau
d = min(m, n) + 1
Aquivalenzklassen gibt, und wählen Sie aus jeder Klasse einen Representanten aus.

:)

Answer 1

A ∼ B   <=>  Es gibt  S ∈ GLm(K) und T ∈ GLn(K)  so, dass B = SAT.

reflexiv ?    Es gibt  S ∈ GLm(K) und T ∈ GLn(K)  so, dass A = SAT

                        erfüllt für S = T = E (Einheitsmatrix)

symmetrisch ?  A ∼ B   => B ∼ A

A ∼ B   =>  Es gibt  S ∈ GLm(K) und T ∈ GLn(K)  so, dass B = SAT.

             => Es gibt  U ∈ GLm(K) und V ∈ GLn(K)  so, dass A = UBV

                      erfüllt für U=S^(-1) und V=T^(-1) denn

                      B = SAT   ==>   S^(-1) * B * T^(-1) = A

transitiv ?   zeigst du entsprechend.