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Guten Abend, ich weiß leider nicht wirklich, wie man die Basis oder die Dimension eines Untervektorraumes bestimmt.

Die dazugehörige Aufgabe lautet:


Gegeben seien die folgenden vier Untervektorräume des ℝ3:

V1 = ( { ( x1, x2, x3 ) ∈ ℝ3 | x1 = x2 }, +, • )

V2 = ( { ( x1, x2, x3 ) ∈ ℝ3 | x1 + x2 + x3 = 0 }, +, • )

V3 = V1 ∩ V2

V4 = V1 + V2

Geben Sie jeweils eine Basis für V1, V2, V3 und V4 an (mit Beweis) und bestimmen Sie die Dimensionen der vier Untervektorräume.


Ich wäre für Lösungen / Lösungsansätze sehr dankbar!

MfG

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Bei V1 sind alles nur Vektoren enthalten, die für irgendwelche a,b aus R so aussehen:

a
a
b

Das sind alle Linearkombinationen  von u=

1
1
0

und v=

0
0
1

Und u und v sind linear unabhängig, bilden also eine Basis von V1 und

damit ist die Dimension = 2.

von 168 k

Vielen Dank für deine Antwort, also sind u und v die Basis von V1 und da es zwei sind, ist die Dimension 2?

Und wie genau würde das dann für V2 aussehen?

Das müsste dann doch irgendwie so aussehen:

a

b

-(a + b)

und die Linearkombinationen wären dann u =

1

0

-1

und v =

0

1

-1

also auch wieder Dimension 2.

Habe ich das so richtig verstanden?

Bei V2 würde ich sagen das X1 = -X2-X3

so ist die Menge V2 = { -X2-X3,X2,X3) ∈ R^3}


= x2*\( \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} \)+x3*\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}  |X2,X3 ∈ R }

so ist \( \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} \) eine möglice basis und so dim =1.


Ich bin mir aber nicht ganz sicher ob das so ganz richtig ist

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Nabend ;-)

na, die Aufgabe kommt mir doch von einer gewissen Uni sehr bekannt vor ;-)

Bist du inzwischen weiter gekommen?

Insbesondere interessiert mich V4.


Grüße

von

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