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Aufgabe:

Beweise die Ungleichungen:

$$e^{\frac{x}{1+x}}\leq 1+x$$

und

$$\frac{x}{1+x}\leq ln(x+1)\leq x$$

für alle $$x \in (-1, \infty)$$


Problem/Ansatz:

Ich habe gedacht ähnlich wie \( x+1 \leq e^x \) mit dem Mittelwertsatz, das war die vorangehende Aufgabe. Aber nach einigen Stunden herum Probierens, auch mit Umstellungen zwischen ln und exp, weiß ich nicht weiter und komme auf keine Lösung.

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(falsch gelesen)..

Nach Bernoulli gilt für jede reelle Zahl \(x \geq -1\) und jede nicht negative Ganze Zahl \(n\geq 0\):

\((1+x)^n\geq 1+nx\)

Abgewandelte Bernoullische Ungleichung:$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \geq 1+n\cdot \frac{x}{n}=1+x$$ Hierbei muss \(\frac{x}{n}\geq -1\) für ein ein hinreichend großes \(n\). Und da:$$e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ gilt deine Ungleichung für alle \(x\in \mathbb{R}\).

nein, sie gilt nur für $$x \in (-1, \infty)$$

Ich habe \(x+1 \leq e^x\) gemacht.

ach das meinst du mit falsch gelesen :-)

Interessanter Ansatz, ich habe das mit dem MWS gelöst. Deins sieht eleganter aus! Und wenn es nun für negative Zahlen gelten soll?

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Für x>0 geht das erste wohl so:

Sei f(x) = exp( x / (1+x) )

Dann ist f ' (x) =   exp( x / (1+x) )  / (x+1)^2 .

Und Mittelwertsatz angewandt auf [ 0 ; x ] gibt:

Es gibt ein a ∈  ]0 ; x [  mit  f ' (a) =  ( f(x) - f(0) ) / ( x-0 ) .

Wegen f ' (a) ≤ 1 für alle a>0 also

             (    f(x) - f(0) )   /   x  ≤ 1

also      exp( x / (1+x) )  - 1  ≤   x              q.e.d

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Wieso ist f(0) =1?

Warum ist f ' (a) ≤ 1 für alle a>0?

Genau diesen Beweis habe ich für $$e^x \geq x+1$$ verwendet.

Wieso ist f(0) =1?

f(0) =  exp( 0 / (1+0) ) = exp(0) = 1

Warum ist f ' (a) ≤ 1 für alle a>0?

Es ist ( analog zu oben)

f '(0) =  exp( 0 / (1+0) )  / (0+1)^2

        = exp(0) / 1   = 1

und wegen f ' ' (x) < 0 für alle x>0 ist f ' monoton fallend,

also immer kleiner oder gleich f ' (0) .

O ja, wie peinlich! Das habe ich einfach übersehen. Danke dir für die schnelle Antwort!

Und was mache ich mit x ≤ 0?

Also, ich habe jetzt für den zweiten Beweis das Folgende:

Da $$e^\frac{x}{1+x} \leq x+1 \leq e^x$$ gilt, wende ich $$ln$$ auf die Ungleichung an und erhalte $$ln(e^\frac{x}{1+x}) \leq ln(x+1) \leq ln(e^x)$$. Das entspricht $$\frac{x}{1+x} \leq ln(x+1) \leq x$$.

Aber leider verstehe ich immer noch nicht was ich beim ersten Beweis für $$x \in (-1,0]$$ machen soll. So ist das Intervall in der Aufgabe vorgegeben und wenn ich es richtig verstehe ist mathefs Antwort nur für x>0 oder?

+1 Daumen

Hallo

t(x)=1+x ist die Tangente bei x=0 an  f(x)=exp(x/(1+x)), die Steigung ist für x>0 kleiner 1 die Funktion bleibt unter der Tangente für x<0 ist die Steigung erst mal >1 dann geht die Funktion schnell gegen 0 für x gegen -1

entsprechend mit dem ln, der auch unter seiner Tangente liegt.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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