Basis und Basisergänzungssatz

Question

Es sei P3[x] = {a+bx+cx²+dx³  | a, b, c, d ∈ R} die Menge der Polynome höchstens dritten Grades.
Die Addition von Polynomen in P₃ [x] ist definiert durch

(a+bx+cx² +dx³ ) + (a'+b'x+c'x² +d'x³ ) =  (a + a') + (b + b')x + (c + c')x² + (d + d')x³ 

und die Multiplikation von einem Polynom mit einem Skalar s aus dem zugrunde liegenden Körper
R durch

s * ( a+bx +cx² +x³ )  = (s*a)+(s*b)x+(x*c)x² +(s*d)x³

Wir verwenden die üblichen Kurzschreibwein

• 0 für das Polynom 0 + 0x + 0x^2+ 0x^3

• 1 für das Polynom 1 + 0x + 0x^2 + 0x^3

• x für das Polynom 0 + 1x + 0x^2 + 0x^3

• x^2 für das Polynom 0 + 0x + 1x^2+0x^3

• x^3 für das Polynom 0 + 0x + 0x^3 + 1x^3

Z.Z. Die Menge B = {1, x, x^2,x^3} ist eine Basis für P₃^[x]

Answer 1

Die Darstellung a+bx+cx^2+dx^3  zeigt doch, dass jedes

Element von P3[x] eine Linearkombination der Elemente

von B ist, also ist B ein Erzeugendensystem für P3[x] .

Außerdem sind die Elemente von B linear

unabhängig, denn a+bx+cx^2+dx^3  = 0 + 0x + 0x^2+ 0x^3  = 0

für alle x aus dem zugrundeliegenden Körper ist nur

erfüllt für a=b=c=d=0 .