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Eine Spiegelung an einer Ebene im ℝwird beschrieben durch                                                 A = 1/3 \( \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \)

a) Geben sie die Spiegelebende in Hesse-Normalform an.

b) Sei α: ℝ→ 3: v→ A-1v. Ist α ο α eine eigentliche / uneigentliche Isometrie?

c) Seien r1:= (-2  1  -2)und r2 := (-2  4  -2).Für welche j ∈ {1, 2} ist die Abbildung βj: ℝ3 → ℝ3 : Av + rj eine Ebenenspiegelung? Geben Sie diesen Fällen die Spiegelebene in Hesse-Normalform an.

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Wenn \(A\) eine Spiegelmatrix ist, so ist einer ihrer drei Eigenvektoren der Normalenvektor der Ebene. Der zugehörige Eigenwert muss negativ sein und die beiden anderen anderen Eigenwerte sollten gleich sein.

Die Eigenwerte von \(A\) sind \(\lambda_1= -3\) und \(\lambda_{2,3}=3\). Also benötigen wir den Eigenvektor von \(\lambda_1\). Dieser ist$$n_1=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1\end{pmatrix}$$

Prüfe das bitte nach. Es muss sein \(A \cdot n_1 = -n_1\). Die Hessesche Normalform für die Ebene lautet dann$$\begin{aligned} \frac{1}{|n_1|}n_1 \cdot x &= 0 \\ \frac 1{\sqrt 6} \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1\end{pmatrix} \cdot x &= 0 \end{aligned}$$


zu (b): ist \(\alpha\) eine Spiegelung, so ist \(\alpha \circ \alpha\) eine Abbildung auf sich selbst bzw. die Identität. laut Definition ist (Seite 9):

Anstelle von “orientierungserhaltend” und “orientierungsumkehrend” sagt man auch “eigentlich” und “uneigentlich” ...

Somit ist die zweifache Spiegelung immer eine eigentliche Isometrie.


zu (c): \(Av+r_j\) ist genau dann auch eine Ebenenspiegelung, wenn \(r_j\) linear zu \(n_1\) liegt. Das ist bei \(r_2\) der Fall, da \(r_2 = -2n_1\).


Falls Du noch Fragen dazu hast, so melde Dich bitte. Übrigens ist es für die Beantwortung dieser Fragen sehr hilfreich, wenn Du eine räumliche Vorstellung von diesen Abbildungen hast. Hast Du die?

Gruß Werner

von 48 k

Hallo Werner-Salomon,

zuerst einmal Danke auch für das Skript, mit dem sie Aufgabenteil b) ergänzt haben. Ich lese mir dies einmal in Ruhe durch. Scheint so, als würden da wichtige Dinge drin stehen. Und bei den räumlichen Vorstellungen von Abbildungen habe ich leider noch Probleme. Wie kann ich mir das am besten vorstellen?

Wie kann ich mir das am besten vorstellen?

Ja genau das ist das Problem ;-). mache so viele Skizzen und Bilder wie möglich. Wenn Du in 3D da Schwierigkeiten hast, versuche es in 2D.

Versuche die selbe Aufgabe einmal mit $$A = \frac 15 \begin{pmatrix} -3 & 4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$$ Und zeichne Dir einige Punkte  sowie deren Spiegelpunkte auf. Wie muss ein Vektor \(r\) beschaffen sein, damit \(Av + r\) wieder eine (reine) Spiegelung ist? Probiere einfach mal verschieden \(r\) aus (aufzeichnen!) und schaue was passiert.

Gruß Werner

Vielen Dank, probiere ich gleich mal aus. Könnten Sie mir vielleicht noch bei der Aufgabe, wo es um die Drehung geht, behilflich sein?

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