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Seien F, G affine Koordinatensysteme. Sei FκE: ℝ3 → ℝ3: v → \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) v + \( \begin{pmatrix} -1\\4\\1 \end{pmatrix} \) für das Standardkoordiantensystem E, sowie

EP = (1  0  -1)T, EQ = (-3  4  -2)T, ER = (-7  2  -1)T, ES = (-5  4  -1)T,

GP = (0  0  0)T, GQ = (1  0  1)T, GR = (2  0  0)T, GS = (1  -1  1)T.

a) Bestimmen Sie F, G und GκF.

b) Zeigen Sie mittels der Geradentreue affiner Abbildungen, dass es kein affines Koordinatensystem H so gibt, dass EκH ((-1  0  3)T) = (7  -3  4)T,

EκH ((0  1  2)T) = (7  -2  2)T

EκH ((-3  -2  5)T) = (7  -4  5)T.

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da diese Indizierung leider rein gar nicht eindeutig sind, kannst Du uns bitte noch sagen, wie das gemeint ist. Wenn die erst genannte Abbildung $$v' = {_FK_E}(v)$$ ist, ist dann $${_Fv} = {_FK_E}(_Ev)$$ oder $${_Ev} = {_FK_E}(_Fv)$$ ??

PS.: ich kenne selbst drei verschieden Arten von Indizierungen - weitere sind denkbar :-/

Hi Werner-Salomon,

von deinen zwei angegeben ist die zweite richtig mit Ev

von deinen zwei angegeben ist die zweite richtig mit Ev.

Die sind beide mit \(_Ev\)!! Einmal als Ergebnis und einmal als Parameter. Ich unterstelle Du meinst \({_{\colorbox{#ffff00} E}v} = {_FK_E}({_Fv})\) - oder?

Hallo nochmal,

Ja genau, tut mir leid habe mich da ein wenig unpräzise ausgedrückt.

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(Antwort überarbeitet)

demnach gilt also $${_GP} = {_GK_E}({_EP})$$genau so muss dann gelten$${_FP}={_FK_G}({_GP})$$Man kann jede Koordinatentransformation auch als Matrix-Vektor-Multiplikation mit einer zusätzlichen vierten Koordinaten schreiben. Es ist zum Beispiel$$\begin{aligned} {_FK_E} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot {_Ev} + \begin{pmatrix} -1\\4\\1 \\ 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -1\\ 3 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot {_E\begin{pmatrix} v_x\\ v_y \\ v_z \\1 \end{pmatrix}} \end{aligned}$$Ich hänge eine Zeile darunter, die nur aus 0'en besteht und jede Position (hier \(v\)) bekommt eine 1 als vierte Koordinate. Am Ergebnis ändert sich gar nichts, aber man kann nun mit Matrizen und ihren Inversen rechnen. Die Matrix nenne ich genauso wie die Funktion - demnach ist hier:$${_FK_E} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -1\\ 3 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

    (a) Bestimmen Sie F, G und \(_GK_F\).

Das Ziel soll es zunächst sein {_GK_F} zu bestimmen. Oben haben wir gesehen, dass man die Abbildung auch als Matrix-Vektor-Multiplikation schreiben kann. Ich nenne die Trasnformationsmatrizen genauso wie die Transformation selbst. Dann ist auch$$\begin{aligned}  {_GK_F} &=  {_GK_E} \cdot {_EK_F} \\ &= {_GK_E} \cdot ({_FK_E})^{-1}\end{aligned}$$ \({_FK_E}\) ist bereits bekannt (s.o.) bleibt noch {_GK_E} zu bestimmen. Die obige Gleichung \({_GP} = {_GK_E}({_EP})\) kann man genauso für die Punkte \(Q\), \(R\) und \(S\) schreiben. Man erhält: $${_G}\left( P,Q,R,S\right) =  {_GK_E} \cdot {_E}\left( P,Q,R,S\right) \\ \implies {_GK_E} = {_G}\left( P,Q,R,S\right) \cdot  \left( {_E}\left( P,Q,R,S\right)\right)^{-1}$$so lässt sich nun die Transformation von \(E\) nach \(G\) berechnen. Wichtig: unter jeder Position muss eine 1 stehen. Es ist$$\begin{aligned} {_GK_E} &=\begin{pmatrix}0& 1& 2& 1\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix}1& -3& -7& -5\\ 0& 4& 2& 4\\ -1& -2& -1& -1\\ 1& 1& 1& 1\end{pmatrix}^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 0.3& -0.2& -0.6& -0.3\\ -0.1& -0.4& -1.2& -1.1\\ 0.1& 0.4& 0.2& 0.1\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}\end{aligned}$$Du siehst, dass in der letzten Zeile wieder die 0'en und die 1 unter der Position auftaucht. Das muss so sein!

Jetzt nur noch einsetzen und ausrechen:$$\begin{aligned} {_GK_F} &= {_GK_E} \cdot ({_FK_E})^{-1} \\ &=  \begin{pmatrix}-0.3& -0.2& -0.6& -0.3\\ -0.1& -0.4& -1.2& -1.1\\ 0.1& 0.4& 0.2& 0.1\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 0& -2& -1\\ 3& 1& 0& 4\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}^{-1} \\ &= \begin{pmatrix}0.3& -0.2& 0& 0.8\\ 1.1& -0.4& 1& 0.6\\ -1.1& 0.4& -2& -0.6\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}\end{aligned}$$

Das Koordinatensystem \(F\) sind die Spaltenvektoren der Matrix \({_EK_F}\).$$\begin{aligned} {_EK_F} &= {_FK_E}^{-1} \\& = \begin{pmatrix}1& 0& 2& -1\\ -3& 1& -6& -1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix} \end{aligned}$$Dan ist \(F\):$$F: \quad \left\{  \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -1\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1\\ -3\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\ -6\\ 1\end{pmatrix} \right  \}$$wie Du siehst habe ich den Positionsvektor nach vorne genommen.  \(G\) folgt aus \({_EK_G}\); das erspar ich mir.


b) Zeigen Sie mittels der Geradentreue affiner Abbildungen, dass es kein affines Koordinatensystem H so gibt, dass ...

Es sind die drei Punkte gegeben:$${_Hu} = \begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 3\end{pmatrix}, \quad {_Hv} = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\end{pmatrix}, \quad {_Hw}= \begin{pmatrix}-3\\ -2\\ 5\end{pmatrix}$$diese drei Punkte liegen auf einer Gerade, da $${_Hw} = {_Hv} + t \cdot ({_Hu}-{_Hv}) \quad \text{für} \space t=3$$Versuche das für die 'transformierten' Punkte und Du wirst sehen, dass dies nicht geht.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Hallo nochmal Werner,

Ich wollte Ihnen noch kurz mitteilen, dass ich nach den Indize Beschreibungen nachgeschaut habe und im Allgemeinen gilt:

Bφ(Ev) = BφEEv

Jedoch ist mir diese Beschreibung mit den Indizes im Gesamtpaket noch nicht wirklich klar geworden.

im Allgemeinen gilt:

Bφ(Ev) = BφE • Ev 

Ok - aber ist das hier dann \({_BK_E}\) oder \({_EK_B}\). Das war ja die eigentliche Frage. Was sich hier auf was bezieht ist bei der ganzen Koordinatentransformation das wichtigste überhaupt!

Wenn \({B\varphi E} = {_BK_E}\) entspricht, dann wäre ja \({_Bv} = {_BK_E}({_Ev})\) und das ist genau das Gegenteil von dem, was Du mir auf meine erste Frage geantwortet hast und dann wäre die gesamten Rechnung in meiner Antwort obsolet!

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