0 Daumen
514 Aufrufe

Aufgabe:

$$f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}  , z \rightarrow \overline{z}$$
Zeigen sie, dass f bijektiv ist


Problem/Ansatz:

Ich habe damit begonnen die Definitionen \( z = a + bi\) und \( \overline{z} = a - bi\) aufzuschreiben und die Definition von bijektiv als injektiv und surjektiv.

Dann die Definition der Injektivität allgemein als $$f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$$ und diese dann hierauf angewendet als

$$f(z) = f(\overline{z}) \Rightarrow z = \overline{z}$$

Dann habe ich es eingesetzt und umgestellt

$$ a + bi = a - bi | :i \\ a + b = a - b | - a \\ b = -b $$

Jetzt müsste ich ja das z in f(z) ersetzen, also \( f(a + bi) = f(a-bi) \) und damit zu einem Schluss kommen, dass z und $$\overline{z}$$ unter diesen Bedingungen gleich sein müssen.

Vom Sinn her verstehe ich eindeutig, dass in diesem Fall z und \( \overline{z} \) gleich sein müssen, nur der Beweis fällt mir noch schwer.

An der Stelle kann es ja nicht getan sein, mag mir jemand auf die Sprünge helfen?

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen

z und z(konjugiert) sind in der gaußschen Zahlenebene Spiegelbider jeweis  voneinander an der Realachse. Achsenspiegelungen sind bijektive Abbildungen zwischen Bild und Urbild.

Avatar von 123 k 🚀

wenn man die Punkte auf der Achse weglässt !

Ja, das ist richtig.

0 Daumen

f(a+bi )=  f( c+di)

<=>  a-bi = c - di

<=> (a-c) + ( d-b) * i

==>  a=c und d=b also f Injektiv.

und surjektiv; denn jedes z besitzt

ein konjugiertes, und davon das konjugierte ist wieder z.

Avatar von 287 k 🚀

f(3) = f(5)?

Hast recht, das war Quatsch.

0 Daumen

Ich glaube, du bist mit den Definitionen etwas durcheinander gekommen.

\( f \text{ ist injektiv wenn gilt: } f(a+b\cdot i) = f(a' + b'\cdot i) \text{ nur dann wenn gilt: } a+b\cdot i = a'+b'\cdot i.\)

Das kannst du jetzt nachrechnen, und es gilt also \(a+ (-b)\cdot i = a' + (-b')\cdot i \implies (a = a') \land (-b = -b'). \implies (a = a') \land (b = b') \implies (a+b\cdot i) = (a'+b'\cdot i)\text{ nach Eindeutigkeit von Realteil und Imaginärteil in den komplexen Zahlen}.\)

Alternativ:

Die Abbildung \(f\) ist in Wirklichkeit eine lineare Abbildung von reellen Vektorräumen  \(\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\), und sie ist gegeben durch die Matrix \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\). Du berechnest ganz einfach, dass \(\det(f) = -1\neq 0\) und folgerst daraus, dass f bijektiv sein muss. Das funktioniert natürlich nur, wenn du über einige Vorkenntnisse in der linearen Algebra verfügst.

LG

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community