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Aufgabe:

Beweise Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix sind orthogonal (betrachtet wird ein Vektorraum R^n mit Standardskalarmultiplikation)


Problem/Ansatz:

Ich habe den Beweis auf einigen Seiten gefunden, aber ohne Kommentare konnte ich den Verfassern gar nicht folgen. Zum Beispiel hier https://resources.mpi-inf.mpg.de/departments/d1/teaching/ss10/MFI2/kap46.pdf auf Seite 2. Dann gilt: ... Ich verstehe die Notation teilweise nicht. Das Beispiel danach ist mir klar, aber ich verstehe dadurch den Beweis nicht besser. Wie kommt er zum Beispiel auf λ1v1Tv2 = ?

Ich habe die Formel für die Eigenvektoren, mir der ich hier bestimmt arbeiten kann A*v = λ*v

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beachte    AT = A  für symmetrische Matrizen ,

 (A * v)T  =  vT * AT  (1) ,

(λ * A) * B  =  A * (λ * B)  (2)

sowie das Assoziativgesetz für die Matrizenmultiplikation [ Klammern kann man (auch in Gedanken :-)) beliebig setzen oder weglassen ].

Für Vektoren u und v entspricht das Standardskalarprodukt  u * v den Matrizenmultiplikationen

uT * v  =  u * vT

Dann gilt:

           λ1 * v1  =  A * v1    (Definition Eigenvektor v1)

 Auf beiden Seiten Transponieren:

⇒       ( λ1 * v1 )T   =  (A * v1)T

(1)     λ1 * v1T   =    v1T * AT     | * v2

⇒        λ* v1 * v2   =  v1T * A * v

         λ1 *  v1T  *  v2  =  v1T  *  A * v2   

        λ1 *  v1T  *  v2   -   v1T * λ2 * v2  =  0       [ =  , Definition EV v2]

(2)        λ1v1T  *  v2   -   λ2v1T *  v2  =  0 

Ausklammern:

⇒        (λ1 - λ2) * v1 *  v2  =  0                      [ ≠ 0 , da Eigenwerte verschieden ]

⇒         v1T *  v2  =  0  ⇔   v1 und  v2   sind orthogonal

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Danke für die Arbeit Wolfgang! Sehr gut zum Nachvollziehen. Habe es verstanden und werde mir jetzt nochmal die anderen Beweise angucken und ausgehend von deinem Beweis Schritt für Schritt vergleichen.  Schönen Tag

immer wieder gern :-)

@wolgang

Müsste aber heißen uT * v  =  vT *u  oder ist es egal? Sonst hat man die Matrizenmultiplikation 3x1 1x3 und da würde doch eine 3x3 Matrix rauskommen.

Warum eigentlich in dieser Zeile = 0 ?

[ =  , Definition EV v2]


Ah okay, hab es gesehen ... sorry .

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