Mengenfamilien. Aus Mengen von natürlichen Zahlen, die durch p (prim) teilbar sind…

Question

Aufgabe:

Sei \( P=\{2,3,5,7,11, \ldots\} \) die Menge aller Primzahlen und für jedes \( p \in P \) die Menge \( A_{p}=\{n \in \mathbb{N} \mid n \) ist durch \( p \) teilbar \( \} \) gegeben. Sei \( \mathbb{N}^{+} \) die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null und für jedes \( i \in \mathbb{N}^{+} \) die Menge \( B_{i}=\left\{n \in \mathbb{N} \mid 100 \leq n^{i} \leq 10000\right\} \) gegeben.

Bestimmen Sie die folgenden Vereinigungen und Durchschnitte und begründen Sie Ihre Lösung:

a) \( \bigcap_{p \in P} A_{p} \)

b) \( \bigcup_{p \in P} A_{p} \)

c) \( \bigcap_{i \in \mathbb{N}+} B_{i} \)

d) \( \bigcup_{i \in \mathbb{N}+} B_{i} \)

Brauche hier Lösungsansätze bzw. Vorschläge.

Answer 1

a) Diese Schnittmenge könnte nur natürliche Zahlen enthalten, die durch alle existierenden Primzahlen teilbar sind. Solche Zahlen gibt es nicht. Somit kommt die leere Menge raus.

b) Die Vereinigung aller Mengen von natürlichen Zahlen, die durch irgendeine Primzahl teilbar sind, ist IN⁺ \ {1}. Man kann ja jede natürliche Zahl als Produkt von Primfaktoren schreiben.

 

c) und d) kann ich nicht so einfach hinschreiben. Ich beginne mal damit die Mengen B_i für einige natürliche i explizit aufzuzählen.

B₁ = {n Element IN | 100 ≤ n ≤10'000  } ={100, 101, 102,…10'000}

B₂ = {n Element IN | 100 ≤ n² ≤10'000  } ={10, 11, 12, …100}

B₃ = {n Element IN | 100 ≤ n³ ≤10'000  } ={5,6,…21} 

B₄ = {n Element IN | 100 ≤ n⁴ ≤10'000  } ={4,5…10}

…

B₁₀ = {n Element IN | 100 ≤ n¹⁰ ≤10'000  } ={2}

…                             Ziemlich bald sind das nur noch leere Mengen. Z.B.

B₁₀₀ = {n Element IN | 100 ≤ n¹⁰⁰ ≤10'000  } ={}, denn 1¹⁰⁰=1 ist zu klein und 2¹⁰⁰ ist zu gross

c) Diese Schnittmenge ist leer, da zB B₁ und B₁₀ elementfremd sind.

d) Diese Vereinigungsmenge ist {2,3,4,… 10'000} = {n Element IN | 2≤n≤10'000}