Was ist eine zyklische Gruppe? Und was genau heißt <g>?

Question

in Lineare Algebra hatten wir zyklische Gruppen. Dazu sollen wir jetzt Aufgaben lösen, aber ich verstehe leider überhaupt nicht, was eine zyklische Gruppe sein soll. In der Vorlesung haben wir das so definiert:

Die Gruppe G heißt zyklisch, falls es ein Element g∈G gibt, so dass <g>=G. (⇔∀x∈G, x=gⁿ, für n∈ℤ) Ein solches Element g∈G heißt erzeugendes Element von G.

Kann mir das bitte einer verständlich erklären? Und was genau heißt <g>?

Danke

Answer 1

Stell dir ein regelmässiges k-Eck vor mit dem Zentrum im Koordinatenursprung.

Nun bildet die Menge aller Drehungen um (m*360°)/k ( m Element Z) und die Abbildungsverknüpfung die Gruppe der Drehungen, die das k-Eck in sich selbst überführen. Diese Gruppe nennt man zyklisch.

g: Drehung um 1*360°/k ist ein Beispiel für ein erzeugendes Element dieser Gruppe

(⇔∀x∈G, x=gⁿ, für n∈ℤ)

heisst jetzt, dass jede Drehung x_m um  (m*360°)/k geschrieben werden kann als gⁿ  mit n Element Z.

Konkret kann man hier sagen, dass x_m = g^m gilt.

Selbstverständlich ist das nicht das einzige erzeugende Element von G. Die andern sind aber je nach k verschieden.

Zudem sind gewisse Drehungen gleich, wenn m Element Z zugelassen wird. Man kann hier modulo k rechnen.

 

 <g> ist die von G erzeugte Gruppe. Da wird nur die Schreibweise angegeben.