Extremwertaufgabe Kugel Zylinder max. Mantelfläche

Question

Aufgabe:

Einer Kugel vom Durchmesser d soll ein Zylinder mit größtmöglicher Mantelfläche einbeschrieben werden.

Wieviel Prozent des Kugelvolumens nimmt der Zylinder ein?

Problem/Ansatz:

Ich verzweifle, bitte um hilfe und erklärung

Answer 1

Nebenbedingung

(2·r)^2 + h^2 = d^2 --> h = √(d^2 - 4·r^2)

Hauptbedingung

M = 2·pi·r·h

M = 2·pi·r·√(d^2 - 4·r^2)

M' = 2·pi·(d^2 - 8·r^2)/√(d^2 - 4·r^2) = 0 --> r = √2/4·d

h = √(d^2 - 4·(√2/4·d)^2) = √2/2·d

V = pi·(√2/4·d)^2·(√2/2·d)/(4/3·pi·(d/2)^3) = 3/8·√2 = 0.5303

Also etwa 53%, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Aber dazu bist du ja da um das nochmals genau nachzurechnen.