2. f ist surjektiv ⇔ f(v1),...,f(vn) ist Erzeugendensystem.
⇒: Sei f surjektiv. Das heißt, für alle w∈W existiert ein v aus V mit f(v)=w.
Entwickle v nach der Basis in V:
w = f(v) = f(a1v1+...+anvn)
wegen f linear gilt:
w = f(a1v1+...+anvn)=a1f(v1)+...+anf(vn)
Da das w beliebig gewählt war, lässt sich so jedes w aus W nach f(v1) bis f(vn) entwickeln. Also ist f(v1),...,f(vn) ein Erzeugendensystem.
⇐: Sei f(v1),...,f(vn) ein Erzeugendensystem von W. Nach Definition bedeutet das: jedes Element von w lässt sich als Linearkombination über f(v1),...,f(vn) mit den Koeffizienten a1, ..., an darstellen:
w = a1f(v1)+...+anf(vn)
Analog zur anderen Richtung folgt daraus:
w = f(a1v1+...+anvn) = f(v)
Da das für jedes Element von W funktioniert, besitzt jedes Element von W ein Urbild v. Also ist f surjektiv.
3. Hier muss man nur ausnutzen:
f(v1),...,f(vn) ist eine Basis ⇔ f(v1),...,f(vn) ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem
Mit den eben bewiesenen Äquivalenzen folgt damit direkt die Behauptung.