Verständnisfrage - Thema "Wachstums- und Zerfallsprozesse"

Question

Aufgabe:

Eisen schmilzt bei 1538 °C. Eine glühende Eisenschmelze kühlt sich bei einer Umgebungstemperatur von 20°C innerhalb von 10 Minuten von 2000°C auf 1800°C ab.

A) Wie lautet die Abkühlungsfunktion?

B) Wie lange dauert es bis zur Erstarung des Eisens?

C) Wie groß ist die Abkühlungsrate zu Beginn des Prozesses?

Problem/Ansatz:

Ich habe heute in der Schule erstmal vor allem mitgeschrieben (war krank) und versuche nun das geschriebe nachzuvollziehen. Ich verstehe nicht, woher die "1980" kommen? Wieso werden 20 von 2000 angezogen?

Ich danke im Voraus!

Answer 1

Die Gleichung wurde nach a umgestellt.

Comments

Verstehe ich nicht. Wieso steht neben 20+a*e^k*0 = 20+a?

Woher kommt das und inwiefern umgestellt? Warum? Um das a zu berechnen, aber wie der Weg dahin etc. verstehe ich nicht...

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$$T(t)=20+a\cdot e^{kt}\\ 2000 = 20+a\cdot e^{k\cdot 0}\\ 2000=20+a\cdot e^{0}\\ 2000=20+a \cdot 1\\ 1980 = a$$

Ist es jetzt veständlich?

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Nicht wirklich, um ehrlich zu sein. Wieso steht da: 20+a*e^0*2000= 20+a*1980?

Ich verstehe immernoch nicht wieso plötzlich a = 1980 ist, auch wenn ich weiß dass die Zahl durch Umstellen ensteht. Nur wo? Warum 1980, wenn die 20 doch für die immer herrschende Temperatur steht?

Vielleicht würde mir helfen zu verstehen, warum bei meinem Zettel oben rechts = 20+a steht?

Irgendwo harkt es...

Ich danke auf jeden Fall für die Mühe!

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Die 20 + a ergeben sich aus der Umformung der rechten Seite der Gleichung

$$20+a\cdot e^{kt}\\$$

Für t wird 0 eingesetzt

$$20+a\cdot e^{k\cdot 0}\\$$

k*0 = 0

$$20+a\cdot e^{0}$$

$$e^0 = 1\\20+a \cdot 1\\=20+a$$

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Achso! Vielen Dank, jetzt habe ich's:)