Analytische Geometrie - Punkt im Dreieck

Question

wie prüfe ich, ob der punkt p (2/4/4) innerhalb der Dreiecks abc liegt? a (10/0/0) b (0/10/0) c (0/20/-10) dabei steht schon fest, dass der punkt p auf der ebene e liegt, die durch das Dreieck abc festgelegt wird dankeschoen schonmal

Answer 1

P befindet sich im 1. Oktanten. (alle Koordinaten > 0).

Im Dreieck abc haben keine Punkte eine positive z-Koordinate. Eine Kante hat die z-Koordinate 0. c liegt unterhalb der xy-Ebene.

Somit liegt p nicht innerhalb des Dreiecks.

Comments

Dankeschön! kann ich das auch irgendwie rechnerisch so machen wie zum Beispiel punktprobe bei geraden und punkten? weil wir haben noch nie irgendwas vonwegen oktanten gemacht ..

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Das wird rechnerisch einfach viel komplizierter.

Oktanten sind Teile des Raumes im räumlichen Koordinatensystem. So ähnlich wie im 2-dim die Felder (manche nennen sie Quadranten) I, II, III und IV. Wenn du im 2-dim einen Punkt hast mit 2 positiven Koordinaten, liegt der sicher nicht in einem Dreieck, dass sich ganz unterhalb der x-Achse befindet.

Rechnerisch müsstest du den Ortsvektor OP von p als

OP = 0A + xAB + y AC schreiben.

P liegt sicher nicht im Dreieck, wenn x oder y grösser als 1 oder kleiner als 0 sind.

Liegen beide zwischen 0 und 1 , liegt p im von AB und AC aufgespannten Parallelogramm.

Nun muss man aber sozusagen in der Mitte aufhören.

Vermutlich genügt es, dass x+y < 1 sind, damit p im Dreieck liegt.

überleg dir das noch genauer, zB. mit dem Strahlensatz, falls du tatsächlich einen Grenzfall vorliegen hast.

 

 

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Was Lu sagen wollte

Haben wir drei Punkte 

A(x1, y1, z1)
B(x2, y2, z2)
C(x3, y3, z3)

Dann muss für einen Punkt P(x, y, z) auf dem Dreieck ABC sicher gelten das

Min(x1, x2, x3) <= x <= Max(x1, x2, x3)
Min(y1, y2, y3) <= x <= Max(y1, y2, y3)
Min(z1, z2, z3) <= x <= Max(z1, z2, z3)

Wobei Min() die kleinste und Max() die größte der Zahlen benennt.

Bei dir a(10/0/0) b(0/10/0) c(0/20/-10) ist das Minimum der z-Koordinate -10 und das Maximum der z-Koordinate 0. Damit kann kein Punkt mit der z-Koordinate 4 auf dem Dreieck liegen. Die z-Koordinate muss im Bereich von -10 bis 0 liegen.

Diese Betrachtung ist aber erstmal eine Abschätzung ob ein Punkt überhaupt in Frage kommt auf dem Dreieck zu liegen. Danach muss man in der Tat die Vektoren betrachten.