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Gegeben ist das Parallelogramm ABCD. M sei der Mittelpunkt von \( \vec{BC} \) und N sei der Mittelpunkt von \( \vec{CD} \). In welchem VerhĂ€ltnis teilen AM und AN die Diagonale \( \vec{BD} \) des Parallelogramms?

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2 Antworten

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Beste Antwort
Dann geht es wohl eher ĂŒber StrahlensĂ€tze.

es reicht, das VerhÀltnis der Abschnitte der Seitenhalbierenden (Schwerelinien) im Dreieck als bekannt voraus zu setzen.

Untitled5.png

\(X\) ist die Mitte von \(|AC|\) und \(|BD|\) und somit ist \(P\) der Schwerpunkt von \(\triangle ABC\) und \(Q\) der Schwerpunkt von \(\triangle ACD\). Zusammen mit \(|BP| \div |PX| = 2 \div 1\) und \(|XQ| \div |QD| = 1 \div 2\) folgt daraus: $$|BP| = |PQ| = |QD|$$


Erweiterung der Antwort:

Es geht auch ohne die Seitenhalbierende und Àhnlich einfach:

Skizze3.png

Das Parallelogramm \(ABCD\) und die Gerade durch \(AM\) sind Ă€hnlich zu dem Parallelogramm \(MXC'B\) und der Geraden durch \(MM'\) (man denke sich das kleinere Parallelogramm um 180° gedreht). Folglich ist$$\frac{|PB|}{|XB|} = \frac{|DP|}{|DB|} = \frac{|DP|}{2|XB|} \space \implies |DP|=2|PB|$$Gruß Werner

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Antwort erweitert ....

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In welchem VerhÀltnis teilt AM die Diagonale BD ?

Sei AB = Vektor a und AD = Vektor b .

Dann gilt

Vektor AM= a + 0,5b

Und wenn S der Teilpunkt ist also

Vektor AS = x* AM =  x*a + 0,5x*b .

Außerdem ist

Vektor BD  = - a + b also

Vektor BS = y* BD =y*(- a + b ) =  -y*a + y*b

Und es ist ein Rundweg ABSA, also

a + BS + SA = 0-Vektor also

a + ( -y*a + y*b)  - (  x*a + 0,5x*b )  = 0

geordnet

( 1 -y -x ) * a  + (y - 0,5x) * b = 0

Da a und b linear unabh. sind:

1-y-x=0   und    y-0,5x = 0

1-y-x=0   und    y=0,5x

1 -0,5x - x = 0

        x = 2/3  und  y = 1/3

Also ist BS dann 1/3 von BD und damit teilt

S die Strecke BD im VerhÀltnis 1 : 2 also

teilt AM die Diagonale BD  im VerhĂ€ltnis 1 : 2 .

Mit einem anderen "Rundweg" findest du auch das andere heraus.


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Die Lösung ist richtig, aber sehr umstÀndlich. Den Vektorpfeil habe ich an Stelle eines Streckenstriches gewÀhlt, den es hier nicht gibt. Das war elementargeometrisch gemeint und nicht vektoriell.

\(\overline{BC}\) mit \overline{BC} wÀre eine Möglichkeit.

Dann geht es wohl eher ĂŒber StrahlensĂ€tze.

Der Vektorpfeil hatte mich zu vektorieller

Lösung ermuntert.

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