Skizzieren Sie die Mengen in der komplexen Ebene. Beispiel: M1= { z∈C| Re(z) ≥ 0, |z| > 1 und Re(z)≥Im(z) }

Question

Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Ebene.

Beispiel: M1= { z∈C| Re(z) ≥ 0, |z| > 1 und Re(z)≥Im(z) }

 

bei b) ich habe so gerechnet und ich würde euch brauchen, um meine Berechnungen zu überprüfen.

Wie kann ich die Menge M2 skizzieren? Was heißt "a + bi <= 7 " (scheint nicht korrekt)?

Answer 1

Was heißt "a + bi <= 7 " (scheint nicht korrekt) ?

In der Tat. Es bedeutet |z-4| ≤ 3 doch:

|z-4| ist der Abstand von z und komplexen Zahl 4+0*i .

Und wenn der ≤ 3 ist, liegen die Zahlen z alle

in und auf dem Kreis um 4+0*i mit dem Radius 3.

Und die andere Bedingung kannst du umschreiben zu

|z-i| ≤ |z+i| also sind das die z, deren Abstand zu

i nicht größer ist, als der zu -i .

Beide Abstände gleich sind auf der Re-Achse, also sind das

diejenigen, die oberhalb oder auf der Re-Achse liegen.

Kannst du auch rechnerisch überprüfen: Mit z=a+bi

wird  |z-i| ≤ |z+i|  zu

a^2 + (b-1)^2  ≤  a^2 + (b+1)^2

<=>           0  ≤  4b

<=>          0  ≤  b , also   Im-Teil nicht negativ, also

auf oder oberhalb der Re-Achse.

Comments

Kannst du auch rechnerisch überprüfen: Mit z=a+bi

wird  |z-i| ≤ |z+i|  zu

a^2 + (b-1)^2  ≤  a^2 + (b+1)^2

<=>          0  ≤  4b

<=>          0  ≤  b

Hallo vielen dank für die Ruckmeldung.

mir ist nicht klar warum (a-bi)^2 bzw. (a+bi)^2 werden nicht

a^2 -2abi +b^2 bzw a^2 +2abi +b^2

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Und warum b > 0 bedeutet Im > 0  und nicht Re > 0  ?

b ist offensichtlich bei keinen i multipliziert, d.h ist ein einfachen Zahl, oder?

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mir ist nicht klar warum (a-bi)^2 bzw. (a+bi)^2 werden nicht

Also mal langsam:

Es ist doch für z=a+bi immer

|z| = a^2 + b^2  sieh auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Betrag

Und dabei ist a der Realteil und b der Imaginärteil

der komplexen Zahl.

Also ist |z-i| =| a+bi - i| = | a +(b-1)*i| = a^2 + (b-1) ^2

und entsprechend

|z+i| =| a+bi + i| = | a +(b+1)*i| = a^2 + (b+1) ^2

Du hast also :

a^2 + (b-1)^2  ≤  a^2 + (b+1)^2
a^2 +b^2 - 2b + 1   ≤  a^2 +b^2 + 2b + 1

                 -2b ≤ 2b

                    0 ≤ 4b