Steckbriefaufgabe Trassierung

Question

Aufgabe:

An der Kreuzung zweier Landstraßen ist das Verkehrsaufkommen sehr hoch und die Unfallgefahr groß. Zur Entlastung der Kreuzung sollen die Straßen durch eine sinnvolle Trassenführung für Rechtsabbieger miteinander verbunden werden. Diese sollen die Möglichkeit erhalten bei A die Landstraße g zu verlassen und über die Trasse in B auf der Straße h aufzufahren.

A). Bauingenieure einer Trassenbaugesellschaft erhalten den Auftrag, eine Funktion F zu finden welche eine geeignete Trasse modelliert.Grundlegend für die Trassierung ist, dass ich die gesuchte Übergang Straße (1) nahtlos und (2) Knick frei an die Landstraßen anschließen muss. Mathematisch bedeutet dies, dass der Graph der Trassenfunktion F den Graphen der Landstraße g im Punkt A sowie den Grapfen der Landstraße h im Punkt B berühren muss.Zudem müssen die Fahrzeuge an den Anknüpfungspunkten der Trasse möglichst (3) ruckfrei von der einen zu der anderen Straße wechseln können. Dies ist erfüllt, wenn in den Berührpunlten auch die Krümmung der Graphen übereinstimmt, welche durch die zweite Ableitungsfunktion angegeben wird. Stell die Bedingungen da, welch eine Funktion F für die vorliegende Trassierung erfüllen sollte.

Problem/Ansatz:

Ich habe sehr Probleme bei der Aufgabe. Ich weiß zwar, dass es sich un eine Steckbriefaufgabe handelt aber ich kann nicht mal unterscheiden um was für eine Funktion es sich handelt. Funktion zweiten Grades oder doch 3 Grades?

Außerdem verwirren mich die Bezeichnungen der Bedingungen: nahtlos, knickfrei...

Answer 1

Stell die Bedingungen da, welch eine Funktion F für die vorliegende Trassierung erfüllen sollte.

Dabei ist es unerheblich um welche Art von Funktion es sich handelt. Also:

dass der Graph der Trassenfunktion F den Graphen der Landstraße g im Punkt A ... berühren muss

F(x_A) = g(x_A)

F'(x_A) = g'(x_A)

sowie den Grapfen der Landstraße h im Punkt B berühren muss

F(x_B) = h(x_B)

F'(x_B) = h'(x_B)

Zudem müssen die Fahrzeuge an den Anknüpfungspunkten der Trasse möglichst (3) ruckfrei von der einen zu der anderen Straße wechseln können.

F''(x_A) = h''(x_A)

F''(x_B) = h''(x_B)

Außerdem verwirren mich die Bezeichnungen der Bedingungen: nahtlos, knickfrei...

Nahtlos: Die Funktionswerte stimmen an der entsprechenden Stelle überein. Man kann also von der einen Straße auf die andere fahren.

Knickfrei: Die Ableitungen stimmen an der entsprechenden Stelle überein. Die Fahrtrichtung wird also nicht plötzlich geändert.

Ruckfrei: Die zweiten Ableitungen stimmen an der entsprechenden Stelle überein.

Woher die Bezeichnung Ruckfrei kommt:

Wenn du auf einer geraden Straße mit dem Auto fährst, dann ist das Lenkrad immer in der gleichen Stellung, nämlich mittig.

Wenn du auf einer kreisförmigen Straße mit dem Auto fährst, dann ist das Lenkrad immer in der gleichen Stellung, nämlich so wie es die Straße aufgrund des Kurvenradius erfordert.

Wenn eine gerade Straße in eine kreisförmige Straße übergeht, dann muss das Lenkrad ruckartig von einer in die andere Stellung gebracht werden.

Stimmen die zweiten Ableitungen überein, dann ändert sich der Kurvenradius nicht ruckartig, sondern allmählich.