Differentialrechnung

Question

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Hab leider absolut keinen Plan, wie ich das lösen soll.

Aufgabe:

Aus dem abgebildeten Blech wurde an der oberen rechten Ecke ein parabelförmiges Teil ausgeschnitten.

A) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der allgemeinen Parabel, wenn der Koordinatenursprung in der unteren linken Ecke des Blechs ist.

B) Aus dem verbleibenden Blech soll ein Rechteck maximaler Fläche ausgeschnitten werden. Berechnen Sie die Maße des Rechtecks.

C) Berechnen Sie die Fläche des Rechtecks und überprüfen Sie Ihr Ergebnis auf Plausibilität

Comments

Könnte der Scheitel auch bei (40|120) liegen?
Im Scheitel würde die Blechkante unter einem Winkel von 90° geschnitten.

Das kann aber nicht an beiden Schnittstellen mit der Blechkante stimmen, wenn die Symmetrieachse der Parabel nicht sogar schräg im Koordinatensystem liegen darf

Answer 1

Scheitel ist bei (80;60)

Dann hat die Parabel die Gleichung    y = f(x) =  a*(x-80)^2 + 60

mit f(40)=120 also  120=a*1600 + 60

also a = 3/80.

Ein Punkt auf der Parabel hat also die Koordinaten ( x ; 3(x-80)^2 / 80 )

mit 40 ≤ x ≤ 80.

Das Rechteck hat also die Breite x und die Höhe 3(x-80)^2 / 80

also Fläche A(x)=3*x*(x-80)^2 / 80

mit A ' (x) = 9x^2 /80 - 12x + 240

mit A ' (x) = 0 gibt es x=80 oder x=80/3

in die zweite Ableitung eingesetzt

A ' ' (80) = 6 ( also lok. Min.)

A ' ' (80/3) = - 6 ( also lok. Max.  bei x = 80/3

Das ist aber nicht im Definitionsbereich von 40 bis 80.

Also ist das Rechteck maximal am Rande, bei x=40

und hat die Maße  40 x 120.

Answer 2

A) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der allgemeinen Parabel, wenn der Koordinatenursprung in der unteren linken Ecke des Blechs ist.

Ansatz über die Scheitelform.Alles in dm, wenn die Angaben in cm gemeint sind:

f(x)=a·(x-8)²+6

Einsetzen des Punktes (4|12)

12=a(4-8)²+6

Auflösen nach a ergibt a=3/8

Parabelgleichung f(x)=3/8·(x-8)²+6

B) Aus dem verbleibenden Blech soll ein Rechteck maximaler Fläche ausgeschnitten werden. Berechnen Sie die Maße des Rechtecks.

Rechtecksfläche F(x)=x·f(x)=x·[3/8·(x-8)²+6]

F'(x)= 3/8(3x²-32x+80)

0)= 3/8(3x²-32x+80)  Lösungenx=4 und x=20/4

Minimum bei x=20/3 Maximum bei x=4.