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ich benötige eure Hilfe beim Lösen der DGL:  xy' +y = ln(x)

erkennbar ist, dass entweder Variation der Konstanten oder Substitution zu verwenden ist, aber ich komme nicht weiter..

danke

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Tipp: \(\dfrac{\mathbb d}{\mathbb dx}xy=xy^\prime+y\).

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Hallo Samira,

Inhomogene DGL 1. Ordnung  (Variation der Konstanten):
y '  +  f(x) · y  =  s(x)         [ bei dir:  y ' + 1/x ·y = ln(x)/x  ]

Mit der – im Folgenden hergeleiteten – untenstehenden  Formel (#)  kann man diese DGL direkt lösen.

Herleitung der Lösungsformel:

Die allgemeine Lösung der homogenen  DGL  y '  +  f(x) · y  =  0  ist

             [ bei dir: f(x) = 1/x ]
y =  c · e - F(x)        mit  F(x)  = ∫ f(x)  dx    (eine beliebige Stammfunktion von f) 
             [ bei dir:  F(x) = ln(x) ]

Die allgemeine Lösung y  der inhomogenen DGL erhält man aus yh , wenn man die Konstante c variabel macht, indem man sie durch c(x) ersetzt:
y  = c(x) · e - F(x)    ( jetzt muss nur noch c(x) bestimmt werden)
Wenn man jetzt y ableitet, hat man
y' = c'(x) · e - F(x) +  c(x) · (-f(x)) · e - F(x)
y' und y in die inhomogene DGL eingesetzt ergibt:
c'(x) · e - F(x) c(x) · (-f(x)) · e - F(x) + f(x) · c(x) · e - F(x)  =  s(x)   [ bei dir:  s(x) = ln(x)/x ]
                          (hebt sich auf)

und nach c‘(x) auflöst:    c'(x)  =  s(x) · eF(x)    
→  c(x)  =  ∫ c'(x) dx  = ∫ s(x) · eF(x) dx    

und damit

y  =  e- F(x) • ∫ s(x) · eF(x) dx   (allgemeine Lösung  der DGL)    (#)

Bei dir mit F(x) = ∫ f(x) dx = ln(x)  und    s(x) = ln(x)/x :

              y = ·e-ln(x) • ∫ ln(x)/x · eln(x) dx   =  1/x • ∫ ln(x) dx

              y =  1/x · (x · ln(x) - x + c )   =  ln(x) - 1 +  c/x   

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Warum nicht einfach direkt integrieren um \(\displaystyle xy=\int\ln x=x(\ln x-1)+c\) zu erhalten und anschließend durch \(x\) dividieren?

In diesem Sonderfall (den man natürlich erst einmal erkennen muss)  sehr elegant und wesentlich kürzer. Danke für den Hinweis!

Die (bekannte) Lösungsformel ist aber allgemeiner anwendbar und benötigt - ohne die Herleitung - auch nur einen erträglichen Rechenaufwand.

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Diese DGL kannst Du als exakte DGL lösen oder

mittels Variation der  Konstanten.

teile die DGL durch x.

y' +y/x= ln(x)/x

Schau in Deine Unterlagen , ob ihr das gehabt habt.

Avatar von 121 k 🚀

danke dir, nein das hatten wir nicht

dann löse die DGL mittels Variation der Konstanten

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