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Aufgabe:

n^2 +7n +1 = Quadratzahl

Wobei für n nur ganze Zahlen eingesetzt werden dürfen


Problem/Ansatz:

Ich habe probiert den ersten Teil der Gleichung zu faktorisieren, wenn beide Faktoren gleich groß sind müsste doch eine Quadratzahl rauskommen? Wie muss ich an das Problem rangehen?

von

2 Antworten

+3 Daumen

n² ist eine Quadratzahl.

Die nächsten Quadratzahlen sind

(n+1)²=n²+2n+1

(n+2)²=n²+4n+4

(n+3)²=n²+6n+9

(n+4)²=n²+8n+16

Betrachten wir nur mal positive n.


Wenn n² +7n +1 auch eine Quadratzahl größer als n² sein soll, dann muss n² +7n +1

entweder  n²+2n+1

oder n²+4n+4

oder n²+6n+9 sein, denn zum Erreichen von

n²+8n+16 ist  n² +7n +1 einfach zu klein.

Im Fall  n²+2n+1=n² +7n +1 gilt n=0.
Im Fall  n²+4n+4 =n² +7n +1 gilt n=1.
Im Fall  n²+6n+9 =n² +7n +1 gilt n=8.

Jetzt ziehe noch negative n in Betracht.

von 53 k 🚀
Jetzt ziehe noch negative n in Betracht.

Das ist schnell gemacht, denn aus Symmetriegründen ist für eine nicht negative Lösung \(n\) ihr negatives Gegenstück \(-(n+7)\) auch eine Lösung.

+1 Daumen

Hallo Amsi,

wenn Du gar nicht weiter weißt, so setzte doch für \(n\) ein paar Zahlen ein, und schaue was da raus kommt:$$\begin{array}{r|r} n & n^2+7n+1\\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 9 \\ 2 & 19 \\ 3 & 31 \\ 4 & 45  \end{array}$$also für \(n=0\) und \(n=1\) ist der Ausdruck eine Quadratzahl. Die Frage ist, ob das die einzigen sind ... Versuche mal ein paar negative Zahlen.


Modularrechnung ist ein guter Tipp. Die einzige Zahl, die hier auftaucht ist die \(7\). Also ist$$\begin{aligned} n^2 + 7n +1 &\equiv m^2 \mod 7 \\ n^2 + 1 &\equiv m^2 \mod 7\end{aligned}$$Schaut man sich die Reste der Quadratzahlen nach Division durch 7 an, so gibt es nur die Zahlen \(0, \, 1,\, 2\) und \(4\). Es kommen also nur Zahlen \(n\) und \(m\) in Betracht, für die gilt$$n^2 \equiv 0 \space \cap \space m^2 \equiv 1 \mod 7$$ oder $$n^2 \equiv 1 \space \cap \space m^2 \equiv 2 \mod 7$$Im ersten Fall ist \(n=7r\) und \(m=7s+1 \cup m=7s+6\) mit \(r, \, s \in \mathbb{Z}\). Einsetzen gibt$$\begin{aligned}49 r^2 + 49 r + 1 &= 49 s^2 + 14 s + 1 \\ 7r^2 + 7 r &= 7s^2 + 2s \end{aligned}$$Offensichtlich geht das nur auf, wenn \(s\) durch \(7\) teilbar ist. Bzw. $$\begin{aligned}49 r^2 + 49 r + 1 &= 49 s^2 + 84 s + 36 \\ 7r^2 + 7 r &= 7s^2 + 12s + 5 \end{aligned}$$ Hmmm .. ? Ich denke weiter nach.

Gruß Werner

von 48 k

Hab ich schon, hab auch welche gefunden (-7,-8,8), wie könnte ich die Frage jedoch allgemeiner lösen und wenn es nicht mehr gibt, die restlichen ausschließen?

Ich denke gerade drüber nach ....

Was hast Du denn gerade als Thema? Gibst da irgendwelche Hinweise?

Unser Thema ist gerade Modularrechnung

Es gibt keine weiteren Hinweise

ich habe noch ein paar meiner Gedanken aufgeschrieben (s.o.)

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