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Hi liebe Mathefans,

ich habe das Problem, dass ich da eine Aufgabe nicht ganz verstehe, weil ich nicht da war als dieses Thema durchgenommen wurde...

Ich habe schon probiert mich da irgendwie durchzukämpfen aber so richtig klappt das leider nicht... Vielleicht kann mir ja hier jemand helfen. :-)

Aufgabe:  Die Profilkurve eines Hügels wird durch die Funktion f(x) = - 1/2 x² + 4x - 6 beschrieben.

a) Wo liegen die Fußpunkte des Hügels?

b) Wie steil ist der Hügel am westlichen Fußpunkt? Wie groß ist dort der Steigungswinkel?

Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich da rangehen soll...

Wäre über jede Hilfe sehr dankbar...
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Vom Duplikat:

Titel: Die Profilkurve eines Hügels: Steigungsproblem

Stichworte: steigungswinkel,steigung

brauche Hilfe bei dieser Aufgabe. Was meinen die mit der Aufgabe

 

Die Profilkurve eines Hügels wird durch die Funktion f(x)=-1/2x²+4x-6 beschrieben.

a) Wo liegen die Fußpunkte des Hügels?

b) Wie steil ist der Hügel am westlichen Fußpunkt? Wie groß ist dort der Steigungswinkel?

Zeichnung:

Mit fruendlichen grüßen

Cytage

Vom Duplikat:

Titel: das steigungsproblem berechnen

Stichworte: steigungswinkel,steigung

Aufgabe:

Die Profilkurve eines Hügels wird durch die Funktion f(x)=x+4x -6 beschrieben. a) Wo liegen die Fußpunkte des Hügels? b) Wie steil ist der Hügel am westlichen Fußpunkt? Wie groß ist dort der Stei- gungswinkel?


Problem/Ansatz:

4 Antworten

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Beste Antwort
a) Vermutlich sollen die Fußpunkte dort liegen, wo die angegebene Funktion Nullstellen hat. Du sollst also diejenigen Werte von x bestimmen, für die gilt:

f ( x ) = 0

Also:

- ( 1 / 2 ) x ² + 4 x - 6 = 0

Multipliziere beide Seiten mit - 2

<=> x ² - 8 x + 12 = 0

Jetzt pq-Formel anwenden mit p = -8 und q = 12

oder "zu Fuß" weiterrechnen mit der quadratischen Ergänzung. Das mache ich jetzt mal:

<=> x ² - 8 x = - 12

Quadratische Ergänzung ermitteln du auf beiden Seiten addieren:

<=> x ² - 8 x + 16 = 4

Linke Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben:

<=> ( x - 4 ) ² = 4

Wurzel ziehen:

<=>  x - 4 = +/- 2

<=> x = +/- 2 + 4

<=> x = 2 oder x = 6

b) Wenn ich nur wüsste, wo in einem Koordinatensystem Westen ist ...  Naja, ich nehme einfach mal an, es sei die Stelle gemeint, ab der es aus der Ebene den Berg hinauf geht, also die Stelle x = 2

Die Steigung eines Funktionsgraphen einer Funktion f an einer Stelle x ist gleich dem Wert der Ableitung der Funktion f an dieser Stelle, also dem Wert von f ' ( x )

Vorliegend gilt

f ' ( x ) = - x + 4

An der Stelle x = 2 gilt daher:

f ' ( 2 ) = - 2 + 4 = 2

Die gesuchte Steigung ist also 2.

Da die Steigung gleich dem Verhältnis der Gegenkathete des Steigungswinkels zu dessen Ankathete ist und dieses Verhältnis auch als tangens des Steigungswinkels alpha bezeichnet wird, gilt also:

tan ( alpha ) = 2

Den Winkel Alpha ermittelt man daraus, indem man auf beiden Seiten die Umkehrfunktion der Tangensfunktion, also den Arkustangens) anwendet:

arctan ( tan ( alpha ) = alpha =arctan ( 2 ) = 63,4 ° (gerundet).
Avatar von 32 k
Oh danke an allen! Damit sollte ich arbeiten können! :) danke danke
Ddanke an allen? Who the *f*u*c*k* is allen? :O
*alle


Man darf sich hoffentlich noch vertippen ^^
+2 Daumen

Hi Cytage,

 

a) Wo liegen die Fußpunkte des Hügels?

Das ist nichts anderes als die Nullstellen zu suchen:

f(x)=-1/2x²+4x-6 = 0    |*(-2)

x^2-8x+12 = 0              |pq-Formel

x1 = 2

x2 = 6

 

Die Fußpunkte sind also N1(2|0) und N2(6|0).

 

b) Wie steil ist der Hügel am westlichen Fußpunkt? Wie groß ist dort der Steigungswinkel?

Für den ersten Teil der Frage bestimme die Ableitung an der Stelle x = 2 (westlicher Fußpunkt)

f'(x) = -x+4

f'(2) = 2

Die Steigung ist also 2.

Der Steigungswinkel kann man über m = tan(ß) bestimmen --> ß = tan^{-1}(2) = 63,43°

 

Grüße

Avatar von 140 k 🚀
+1 Daumen

hi

wir wissen ja, dass die funktion  f(x) = - 1/2 x² + 4x - 6
eine nach unten geöffnete parabel beschreibt.
also machen wir uns zunächst einmal eine skizze.

eine skizze muss natürlich nicht sein, wenn du dir

den verlauf der funktion vorstellen kannst.

 



a)
mit fußpunkt werden wohl die schnittpunkte
der parabel mit der x-achse gemeint sein.
die bekommen wir über die mitternachtsformel oder
über die pq formel.

b)
wie steil der hügel am westlichen fußpunkt ist, finden wir
heraus, wenn wir die erste ableitung von f(x) bilden
und für x den westlichen schnittpunkt von f(x) mit der x-achse

einsetzen.

sollte klappen oder?

insetzen.


lg

Avatar von 11 k
Du scheinst ja zu wissen, wo in einem Koordinatensystem Westen ist ... hab ich da was verpasst?

Klär mich doch bitte mal auf ... :-)
gern. :-)

das ist analog dazu, wie man erkärt, wo links oder rechts ist:

aaalsoooo westen ist dort, wo der daumen östlich ist :p
0 Daumen

Aufgabe a) kannst du durch die Nullstellen bestimmen. Du schaust, wann die Funktion = 0 ist. Also:

     -1/2 x2 + 4x - 6 = 0

Um die pq-Formel anzuwenden musst du erstmal das -1/2 bei x2 rausbekommen:

     x2  -8x +12 = 0

jetzt ist p = -8 und q = 12. Das ganze in die pq-Formel:

x1/2 = -(p/2) ± √((p/2)2 - q)

-> x1/2  = 4 ± √((-8/2)2 - 12)

x1 = 6
x2 = 2

 

Liebe Grüße.
 

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