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Welche der gegebenen Folgen komplexer Zahlen ist beschrankt bzw. konvergent? Geben
Sie ggf. alle konvergenten Teilfolgen bzw. den Grenzwert an.

Yn= (\( \frac{1+i}{2} \))n

Ich stehe bei der Aufgabe gerade komplett auf dem Schlauch. Kann mir bitte jemand helfen?

von

3 Antworten

+1 Punkt

Hallo,

schreibe y_n in Exponentialform, dann kannst du alles ablesen.

von 32 k

Wie sieht das dann aus?

Habe ich vorher noch nie auf die Art gemacht

Einmal ist immer das erste mal.

Stimmt, aber wenn es mir noch nie jemand gezeigt hat, ist das relativ schwierig sich vorzustellen. Das ist quasi wie aus einem Labyrinth ohne Ausgang zu entkommen

(1+i)/2=1/√2 *e^{i*π/4}

---> y_n = ((1+i)/2)^n=(1/√2)^n *e^{i*nπ/4}

Der Radius wird immer kleiner (da 1/sqrt(2)<1). Also ist y_n beschränkt mit c=1/sqrt(2)

Da der Radius gegen 0 strebt, geht die Folge gegen 0.

lim n---> ∞ y_n = 0

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Hallo

Berechne den Betrag, wenn der konvergiert, dann auch die Folge.

Gruß lul

von 25 k



Das ist mein Rechenweg bisher

IMG-20190413-WA0001.jpg

Unterscheide Folgen und Reihen. Du hast nicht den Betrag der Folgenglieder ausgerechnet.

Berechne den Betrag, wenn der konvergiert, dann auch die Folge.

Das ist wohl falsch:

Betrachte  yn = in       (  i , -1 , -i , 1 , i ... )

 | in |  = 1    ,   yn konvergiert aber nicht

Woher weißt du, dass in nicht konvergiertrtiert?

vier verschiedene Folgenglieder wiederholen sich ständig in der Reihenfolge   i , -1 , -i , 1 , i ...

Ja, aber dass ist ja genau meine Frage: wie kommst du darauf?


Ich steh gerade echt auf dem Schlauch. Sry

Mache das, was jc2144 vorgeschlagen hat.

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Hallo Gustav,

( (1+i)/2 )n  = (1/2 + 1/2 i) = (a + bi)n  = (r · ei · φ)n  =  rn · (ei · φ)

        mit a = b = 1/2  ,  r = √(a2 + b2)   und  φ = arccos( a/r )

   →  r = √( 1/2) = 1/√2   und  φ =  arccos( (1/2) / (1/√2 ) ) = arccos( 1/2 · √2) = π/4 

   →  limn∞  ( (1+i)/2 )n  = limn→∞  [ (1/√2)n · (ei · π/4)n ]  =   limn→∞  [ (1/√2)n · (ei · π)n/4 ]  

                                  =  limn→∞  [ (1/√2)n · (-1)n/4 ]   = 0 

Gruß Wolfgang

von 81 k

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