Aufgabe:
Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und f:V →V eine lineare Abbildung. Wir bezeichnen mit f∗ die Adjungierte von f, d. h. die lineare Abbildung f∗:V → Vmit〈v,f(w)〉=〈f∗(v),w〉,v,w∈ V. Zeigen Sie, dass gilt:
(a)kern f∗= (bild f)⊥
(b)bild f∗= (kern f)⊥
Problem/Ansatz:
Hallo ich bin an die Aufgabe so rangegangen.
a)
Zu zeigen ist: kern f∗= (bild f)⊥
Daher gilt: kern f* ={v∈V | f* (v)=0} und (bild f)⊥= {a∈V | <f(b),a> = 0 ∀b∈V}
Sei x,b ∈V, x∈kern f ⇔x∈(bild f*)⊥
x∈ kern f*⇔f*(x)=0 ⇔<f*(x), y>= 0 ∀y∈V \ {0} weil linearität Pos. definiert
⇔<x, f(y)>=0 ∀y∈V \ {0} ⇔<x, f(y)=0 ∀y∈V
⇔ x∈ (bild f)⊥
q.e.d
b)
Zu zeigen ist: bild f∗= (kern f)⊥
y∈ bild f* ⇔ ∃x∈V : f*(x)=y y∈(kern f)⊥ Für alle x∈kern f :<y,y>=0 ⇔Kern f⊥
Kern f =(bild f*)⊥⇒(kern f)⊥=(bild f*)⊥ ⇒(Kern f)⊥=Bild f*
x=y⇔x⊥=y⊥
q.e.d
Ich bin mir nur nicht sicher ob das alles Sinn macht, weil ich das ehrlich gesagt auch noch nicht ganz so verstanden habe.
Über Feedback würde ich mich freuen.
