Überprufen Sie ob f(x, y) injektiv ist. U:= { (x,y): x+y ≠ -1} und f: U -> R^2 mit f(x,y):= ( x/(1+x+y), y/(1+x+y) )^T

Question

Überprufen Sie ob f(x, y) injektiv ist.

(Satz von der Umkehrfunktion)

U:= { (x,y): x+y ≠ -1} und f: U -> R^2 mit f(x,y):= ( x/(1+x+y), y/(1+x+y) )^T

mir interessiert jetzt nur die erste Teil dieser Aufgabe: injektivität

Vielen Dank!!

Answer 1

Sei also  f(x,y) = f(a,b)

Forme ich mal was um , geht vielleicht auch kürzer ?

x / ( 1+x+y)  =   a/(1+a+b)   und   y / ( 1+x+y)  =   b /(1+a+b)

<=>  x * ( 1+a+b)  =   a *(1+x+y)   und   y * ( 1+a+b)  =   b * (1+x+y)

<=>  x +xa+xb  =   a +ax+ay   und   y +ya+yb  =   b +bx+by

<=>  x + xb  =   a +  ay   und   y +ya  =   b +bx

<=>     xb  =   a +  ay - x   und   y +ya  =   b +bx

<=>     xb  =   a +  ay - x   und   y +ya  =   b +   a +  ay - x

<=>     xb  =   a +  ay - x   und   y   =   b +   a  - x

<=>     xb  + x =   a +  a*( b +   a  - x)  und   y   =   b +   a  - x

<=>     xb  + x =   a +  ab +   a^2   - ax   und   y   =   b +   a  - x

<=>    ax+ xb  + x =   a +  ab +   a^2     und   y   =   b +   a  - x

<=>  x * (  a+ b  + 1)  =   a * (1 +  b +   a)      und   y   =   b +   a  - x

und weil a+b+1 nicht 0 ist, hast du

x = a   und in die 2. Gleichung eingesetzt  y = b .