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Aufgabe:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(a+k)(a+1+k)} \text { mit } a>0$$


Problem/Ansatz:

Hier bin ich wieder einmal :). Ich habe hier ein Problem, und zwar Konvergiert die folge gegen 1/a aber ich weiß nicht wie ich das sinnvoll umformen kann um das herauszufinden. Die Konvergenzkriterien zeigen ja nur, dass die Folge konvergiert.

Mit Freundlichen Grüßen

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Vom Duplikat:

Titel: Grenzwert einer Konvergenten Reihe bestimmen(2)

Stichworte: konvergenz,reihen,grenzwert,analysis,folge

Aufgabe:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(a+k)(a+1+k)} \text { mit } a>0$$


Problem/Ansatz:

Hier bin ich wieder einmal :). Ich habe hier ein Problem, und zwar Konvergiert die folge gegen 1/a aber ich weiß nicht wie ich das sinnvoll umformen kann um das herauszufinden. Die Konvergenzkriterien zeigen ja nur, dass die Folge konvergiert.

Mit Freundlichen Grüßen

2 Antworten

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Tipp: \(\displaystyle\frac1{(a+k)(a+1+k)}=\frac1{a+k}-\frac1{a+1+k}\).

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Mit dem Tipp von Spacko erhältst du eine

"Teleskopsumme". Ohne Summenzeichen sieht die so aus

1/a  -  1/(a+1)  + 1/(a+1) - 1/(a+2)  + 1/(a+2)  - 1/(a+3) …………….

Außer dem 1. Summanden heben sich alle gegenseitig auf.

Avatar von 287 k 🚀

Außer dem 1. Summanden heben sich alle gegenseitig auf.

Wie z.B. auch hier :
1 - 2 + 2 - 3 + 3 - 4 + 4 - 5 + 5  ...

Grenzwert einer Konvergenten Reihe bestimmen.

Es ist besteht keine Notwendigkeit, die Konvergenz noch zeigen zu müssen.

die Konvergenz noch zeigen zu müssen

Das würde nicht einmal ausreichen, wie die Reihe über a_n = n - n zeigt, die in der Form 
1 - 1 + 1 - 1 + 1  ...  geschrieben m.s Argumentation als zu kurz gegriffen erweist.

Es war bekannt:

"Die Konvergenzkriterien zeigen ja nur, dass die Folge konvergiert."

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