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Es sei \(\mathbb{K}\) ein Körper und \(x,y\in \mathbb{K}\) Zeigen Sie:

Hier mein Vorschlag für die verschiedenen Aufgaben. Ist das formal so korrekt? Ich finde es gar nicht leicht, solche internalisierten Rechenregeln zu beweisen.

Rechnung:

(i)

Zu beweisen: x·0=0

x·0=x·0+x·0-x·0  | Existenz inverser Elemente bzgl. Addition

x(0+0)-x·0=0  | Distributivgesetz und Existenz eines neutralen Elements bzgl. Addition

x·0-x·0=0    q. e. d.

(ii)

Zu beweisen: -x=(-1)·x

x·0=-x+x    | Existenz inverser Elemente bzgl. Addition

x·0=x(-1+1)   | Distributivgesetz

x·0=-1·x+1·x   | Existenz des neutralen Elements bzgl. Multiplikation

x·0=-1·x+x   |  x·0=0, vgl. (i)

0=-1·x+x   | Existenz inverser Elemente bzgl. Addition

-x=-1·x   q. e. d.

(iii)

Zu beweisen: x·y=0  ⇔  (x=0)∨(y=0)

Fall 1: x≠0 ∧ y=0

x·0=0  (vgl. (i)) q. e. d.

Fall 2: x=0 ∧ y≠0

0·y=0    | Kommutativgesetz bzgl. Multiplikation

y·0=0 (vgl. (i)) q. e. d.

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x·0=x·0+x·0-x·0 

Es wäre gut, wenn du dich auf die Rechenarten beschränken würdest, die in den Körperaxiomen vorkommen. Das ist + und ·, nicht - und :, zumindst so langes um Beweise von internalisierten Regeln geht.

Außerdem solltest mehr Klammern verwenden: x·0+(x·0-x·0). Sonst entsteht der Eindruck als könnte man auf das Assoziativgesetz verzichten.

x·0-x·0=0    q. e. d

Damit ist x·0 = 0 noch nicht bewiesen.

x·0=-x+x    | Existenz inverser Elemente bzgl. Addition

Nicht nur dass, sondern auch obiges x·0 = 0.

x·0=x(-1+1)  | Distributivgesetz

Genauer gesagt hast du hier

        -x + x

umgeformt zu

        -1·x + 1·x

und dann das x mittels Distributivgesetz ausgeklammert.

Du darfst aber nicht zu -1·x + 1·x  umformen, weil -x = -1·x ja genau das ist, was du beweisen sollst.

Zu beweisen: x·y=0  ⇔  (x=0)∨(y=0)

Fall 3 fehlt: x≠0 ∧ y≠0.

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Damit ist x·0 = 0 nocht nicht bewiesen.

Wieso nicht?

Du darfst aber nicht zu -1·x + 1·x  umformen, weil -x = -1·x ja genau das ist, was du beweisen sollst.

Stimmt, da hast du recht, werde ich mir neu überlegen.

Fall 3 fehlt: x≠0 ∧ y≠0.

Stimmt: "Entweder/Oder, oder beides". Aber das lässt sich ja eher nicht beweisen, ist dann die gesamte Aussage falsch?

x·0-x·0 = 0 hast du schon direkt in der ersten Zeile mit der Begründung verwendet, dass x·0-x·0 = 0 ist (du hast es damals nur "Existenz inverser Elemente bzgl. Addition" genannt).

Stimmt: "Entweder/Oder, oder beides"

Nicht so ganz. Du hast bis jetzt

        (x=0)∨(y=0) ⇒ x·y=0

gezeigt. Du musst auch noch

        x·y=0 ⇒ (x=0)∨(y=0)

zeigen. Das geht zum Beispiel indem du die Kontraposition

        x≠0 ∧ y≠0 ⇒ x·y≠0

zeigts, was ich dann als Fall 3 bezeichnet habe.

Geht für \(x\cdot 0=0\) evtl. folgender Beweis:

x·0=0

x·0=(0+0)·x    | Existenz eines neutralen Elements bzgl. Addition

x·0=x·0+x·0  | Distributivgesetz

Existenz eines inversen bzgl. Addition ⇒ x·0=x·0+(-x·0)

x·0=0

q. e. d.

Achso, und für -x=(-1)x ist das mein Vorschlag, sollte nun korrekt sein:

-x=(-1)x
-x=(0+(-1))x    | Existenz eines neutralen Elements bzgl. Addition
-x=x·0+(-1·x)    | Distributivgesetz
-x=(-1)·x

q. e. d.

x·0=0

x·0=(0+0)·x    | Existenz eines neutralen Elements bzgl. Addition

x·0=x·0+x·0  | Distributivgesetz

Es ist mir nicht ganz klar, was du aufgrund welcher Regeln aus welchen Voraussetzungen folgerst. Insbesondere das x·0=0 am Anfang sieht seltsam aus. Warum steht es da?

Ich würde x·0 = 0 wie folgt beweisen.

\(\begin{align*}
\text{Es gilt} &  & x\cdot0 & =x\cdot\left(0+0\right) &  & \text{weil Addition von }0\text{ neutral ist}.\\
\text{Also gilt auch} &  & x\cdot0 & =\left(x\cdot0\right)+\left(x\cdot0\right) &  & \text{wegen Distributivgesetz}.\\
\text{Also gilt auch} &  & \left(x\cdot0\right)+\left(-\left(x\cdot0\right)\right) & =\left(\left(x\cdot0\right)+\left(x\cdot0\right)\right)+\left(-\left(x\cdot0\right)\right) &  & \text{wegen Addition von }\left(-\left(x\cdot0\right)\right)\text{ auf beiden Seiten.}\\
\text{Also gilt auch} &  & \left(x\cdot0\right)+\left(-\left(x\cdot0\right)\right) & =\left(x\cdot0\right)+\left(\left(x\cdot0\right)+\left(-\left(x\cdot0\right)\right)\right) &  & \text{wegen Assoziativgtesetz.}\\
\text{Also gilt auch} &  & 0 & =\left(x\cdot0\right)+0 &  & \text{weil }-\left(x\cdot0\right)\text{ die Gegenzahl von }x\cdot0\text{ ist.}\\
\text{Also gilt auch} &  & 0 & =x\cdot0 &  & \text{weil Addition von }0\text{ neutral ist}.
\end{align*}\)

Insbesondere das x·0=0 am Anfang sieht seltsam aus. Warum steht es da?

Das war nur nochmal zum Wiederholen der zu beweisenden Gleichung. Ansonstens:

Vielen Dank, das habe ich verstanden!

Was hältst du hiervon?

-x=(-1)x
-x=(0+(-1))x    | Existenz eines neutralen Elements bzgl. Addition
-x=x·0+(-1·x)    | Distributivgesetz und x·0=0 wie in (i)
-x=(-1)·x

Das war nur nochmal zum Wiederholen der zu beweisenden Gleichung.

Wenn du das machst, dann musst du unbedingt deutlich machen, dass du das nicht zum Ausgangspunkt deiner Argumention machst.

-x=(0+(-1))x

Hier steckt schon die Behauptung drin, die du zeigen möchtest.

Wie meinst du das? wenn ich einfach eine null dazuaddiere, wie steckt da dann die Behauptung drinnen, die ich zeigen möchte?

wenn ich einfach eine null dazuaddiere

Du addierst eine 0 zu einem Term in einer unbewiesenen Gleichung.

Die Idee eines direkten Beweises ist, eine gültige Gleichung so umzuformen, dass die Gleichung ensteht, die man beweisen möchte.

Ob die Gleichung -x = -1·x gültig ist, ist nicht bewiesen. Deshalb darf sie nicht als gültig angenommen werden.

Wenn du in dieser Gleichung zu der -1 eine 0 addierst, dann ändert sich dadurch nichts an dem Wissen über die Gültigkeit. Auch die Gleichung -x = (0 + (-1))·x darf nicht als gültig angenommen werden. Und so pflanzt sich die Unwissenheit über die Gültigkeit von Zeile zu Zeile fort.

Stattdessen: Fange mit einer Gleichung an, von der du weißt, dass sie gültig ist, zum Beispiel

(1)        0·x = 0.

Ein erster geeignete Umformungsschritt ist

(2)        (1 + (-1))·x = 0.

Weil Gleichung (1) gültig ist (wurde in Teil (i) bewiesen), ist Gleichung (2) auch gültig (1 und -1 sind nämlich Gegenzahlen). Forme weiter um bist du zu -x = -1·x kommst.

Achso, jetzt verstehe ich das:

  0·x = 0

(1+(-1)·x=0    | Distributivität

1·x+(-1·x)=0   | Existenz eines neutralen Elements bzgl. Multiplikation

x+(-1·x)=0

-1·x=-x

q. e. d.

Danke für die Hilfe!

Jetzt sieht's gut aus, auch wenn du ...

x+(-1·x)=0
-1·x=-x

... hier ziemlich viele Schritte ausgelassen hast.

Wie meinen?... LG Folgt das nicht sofort daraus?

Wenn aus der Gleichung

        x+(-1·x)=0

sofort die Gleichung

        -1·x=-x

folgt, dann gibt es ein Körperaxiom, das für die Umformung angewendet wurde. Welches ist das deiner Meinung nach?

Du hast doch oben bei deinem x·0=0 Beweis auch einfach \((-(x\cdot 0))\) auf beiden Seiten addiert. Kann ich nicht auch einfach auf beiden Seiten \((-x)\) addieren?

Kann ich nicht auch einfach auf beiden Seiten (−x) addieren

Ja, das darfst du. Dann entsteht entweder die Gleichung

        -x + (x+(-1·x)) = -x + 0

oder die Gleichung

        (x+(-1·x)) + (-x) = 0  + (-x)

je nach dem ob du von links oder von rechts an die Terme addierst. Nach welchen Regeln darfst du diese neue Gleichung denn vereinfachen zu

        -1·x = -x ?

Naja, auf der linken Seite der Gleichung darf ich durch das Assoziativgesetz und durch die Existenz des inversen Elements bzgl. der Addition zusammenfassen zu \(-1\cdot x\) und auf der rechten Seite durch die Neutralität der Null einfach nur \(-x\) schreiben.

(x+(-1·x))+(-x)=0+(-x)

(x+(-x))+(-1·x)=0+(-x)    | Wegen Assoziativität

0+(-1·x)=0+(-x)   | Neutralität der Null

-1·x=-x

(x+(-1·x))+(-x)=0+(-x)
(x+(-x))+(-1·x)=0+(-x)    | Wegen Assoziativität

Und wegen Kommutativität; immerhin hast du ja auf der linken Seite (-1·x) und (-x) vertauscht.

Ja, stimmt auch Kommutativität. Guter Hinweis! Man muss schon stark umdenken, um das richtig zu lösen, weil einige Dinge einfach  so natürlich wirken, dass man sie gar nicht mehr hinterfragt!

Noch eine Frage zu "Fall 3":  x≠0  ∧ y≠0   x·y=0

kann man das nicht sofort widerlegen (Beweis per Widerspruch), da man weiß, dass \(x · y = y · x\) für alle \(x,y\in \mathbb{K}\) gilt (Kommutativgesetz)

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