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(an)n∈N und (bn)n∈N seien reelle Folgen, die beide gegen den Grenzwert c konvergieren. Wir definieren
die Folge (cn)n∈N mit c2n−1 = an und c2n = bn für alle n ∈ N.

Zu zeige dass die Folge (cn)n∈N ebenfalls gegen c konvergiert.

von

2 Antworten

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Für alle eps>0 gibt es ein no so dass

für alle n>no gilt  | c-an| < eps.    #

Desgleichen für bn:

Für alle eps>0 gibt es ein mo so dass

 für alle m>mo gilt  | c-bm| < eps.   ##

Sei nun eps > 0. Gesucht wird ein ko

so dass für alle k>ko gilt  | c-ck| < eps.

Wähle ko = max(no,mo) .

Ist dann k>ko so ist jedenfalls

k>no und k>mo also gilt auch

für gerades k     (k+1)/2 > no und

für ungerades k     k//2 > mo

also entsprechend  k>2no-1 bzw  k> 2mo

 also gibt es n > no  bzw m>mo  aus ℕ mit

                   ck = an  zw  ck=bm  

also jedenfalls | c - ck | < eps wegen # bzw ##.

von 170 k
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Wie wäre es denn, wenn du mit Epsilon-Umgebungen von c arbeitetst?

Zu jedem Epsilon gibt es einen Index Na, ab dem alle Glieder von (an)  in dieser Epsilonumgebung von c liegen.

Zu jedem Epsilon gibt es auch  einen Index Nb, ab dem alle Glieder von (bn)  in dieser Epsilonumgebung von c liegen.

Die Menge der  beiden Zahlen Na und Nb besitzt ein Maximum.

Zu jedem Epsilon gibt es deshalb einen Index Max(Na,Nb), ab dem alle Glieder von (an) und von (bn) in dieser Epsilonumgebung von c liegen.

von 5,5 k

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