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ich soll für den folgenden Limes ein p \in \mathbb{R} , so dass dieser existiert und echt positiv ist.

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{4^n} \begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} n^p $$

Für $$ \begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} $$ gilt $$ \begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}  = (-1)^n 4^n \begin{pmatrix} -1/2\\n \end{pmatrix} => \lim\limits_{n\to\infty} (-1)^n \begin{pmatrix} -1/2\\n \end{pmatrix} n^p $$ Mein Problem liegt nun daran wie ich weiter machen soll..

Der Binomialkoeffizient geht gegen Null..

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Der Koeffizient gegen nicht gegen Null, sondern gegen unendlich, wächst aber langsamer als 4^n.

Ich sprach dabei von -1/2 über n, von dem ist der Limes 0..

Aber wenn man von der ursprünglichen Formel ausgeht:

1/4^n -> 0, 2n über n -> unendlich und n^p ist von p abhängig, verstehe also nicht wirklich wie ich da das richtige P bestimmen soll

p = 1/2 könnte passen.

Kannst du mir begründen/erklären warum? Verstehe den Gedankengang nicht..

Was verstehst du denn in der Antwort von jc2144 nicht? Bitte kommentiere dort.

1 Antwort

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Avatar von 37 k

Okay danke, hilft mir schon mal ein wenig weiter.

Tatsächlich wie oben gesagt passt p = 1/2.

Hab’s jetzt in Wolframalpha eingegeben, aber verstehe nicht wie man mit limes des Bruches auf 1/Wurzel pi kommt.

Was man erhält wäre ja $$ \frac{(2n)!*n^p}{(n!)^2*4^n} $$

Der exakte Wert des Grenzwertes ist nicht gefragt, es reicht also zu zeigen

(2n über n) wächst in der Ordnung von 4^n/sqrt(n).

Das ganze kann man mit der Stirlingformel herleiten, das müsstest du aufschreiben oder eben anders begründen.  Z.B

http://www.moderndescartes.com/essays/2n_choose_n/

erklärt das asymptotische Verhalten sehr gut.

Ich danke dir, habs damit dann verstanden! :)

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