Seien \(X,Y\) Mengen und \(f: X\rightarrow Y\) eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:
Zu zeigen ist: \(f(A)∩f(B)=∅\) mit \(A∩B=∅\) \(\Longleftrightarrow\) \(\text{f ist injektiv}\)
Ich habe schon gezeigt, dass \(f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)\) ist, insofern \(f\) injektiv ist.
Ansatz:
Für "\(\Longleftarrow\)" (Rückrichtung)
Sei \(x\in A\) und \(y\in B\). Da \(f\) injektiv, gilt \(f(x)\neq f(y) \Longrightarrow x\neq y\). Da aber \(A\cap B\) disjunkt ist, kann es kein \(x\) geben, das gleich \(y\) ist. (reicht das bereits)?
Für "\(\Longrightarrow\)" (Hinrichtung)
Kein wirklicher Ansatz, nur, dass es nicht surjektiv sein kann, damit schon gar nicht bijektiv. Aber es gibt ja noch weder injektiv noch surjektiv.
