Wie kann man die Tangentengleichung berechnen?

Question

Aufgabe:

Die Funktion ist f(x) = 0,2X^4 - 1,8x^2;   Hochpunkt ist (0/0)

Im Hochpunkt H von f soll für Unterwasserbeobachtung eine Kamera angebracht werden. Man möchte wissen, wie gross der Blickwinkel der Kamera in Richtung Meeresgrund ist. Hierzu muss man zwei Tangenten durch den Punkt H an den Schiffsrumpf f legen. Bestimmen die die Gleichung einer dieser Tangenten an f und den Blickwinkel.

Problem/Ansatz: Ich komme auf keine Tangentengleichung. Ich weiss nicht wie man es in diesem Fall berechnen kann. Ich komme irgendwie nur auf null.

Kann mir jemand bitte helfen?

Vielen Dank jetzt schon.

Answer 1

Es gibt nur eine Tangente durch den Hochpunkt H(0|0) von f, das ist die x-Achse:

Unklar: Was ist die Funktionsgleichung des Schiffsrumpfes, was ist die Funktionsgleichung des Meeresgrundes?

Comments

wahrscheinlich soll \(f(x)\) der Querschnitt durch den Schiffsrumpf eines Katamarans sein. Die Kamera hängt zwischen den Rümpfen und ist nach unten gerichtet.

~plot~ 0.2x^4-1.8x^2;-1,2*sqrt(3)*x;[[-6|+6|-5|2]];+1,2*sqrt(3)*x ~plot~

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Ich schätze mal, der Schiffsboden ist in der Mitte nach innen gewölbt:

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siehe Skizze in der Aufgabe 2.

Answer 2

Das sieht wohl so ähnlich aus:

~plot~ 0.2*x^4 - 1.8*x^2;  -2x;-2.2x ~plot~

Ich habe einfach mal die rote Gerade mit y=-2x genommen, das gibt allerdings

keine Tangente, man würde gegen den Schiffsrumpf gucken.

Etwas steiler y=-2,2x (grün) kann man dann zwar bis auf den

Meeresboden sehen, könnte aber noch etwas wieder zurück, damit der

Blickwinkel und damit die betrachtete Bodenfläche größer wird.

Man braucht also im Bereich so um (1,8 ; -3,8) herum einen

Punkt, bei der die Gerade dann exakt eine Tangente ist.

An dem Punkt (x;f(x) ) wäre dann die Steigung genau

gleich f ' (x) und das Steigungsdreieck von diesem Punkt zum

Nullpunkt liefert    ( f(x) - 0 ) /  ( x-0)  = f ' (x)

also  (0,2X^4 - 1,8x^2) / x       =   0,8x^3 - 3,6x

<=>   0,2X^3 - 1,8x      =   0,8x^3 - 3,6x

<=>   - 0,6 * X^3  +  1,8x      =   0

<=>   ( - 0,6 * X^2  +  1,8) * x      =   0

<=> x=√3 v x=√3  v x=0

Da wir das positive x suchen ist der Punkt, an dem die

Tangente anliegt  ( √3  ;  -3,6 )

und die Steigung ist f ' ( √3) ≈ -2,08

(Meine -2 war also gar nicht schlecht.)

Dann ist der Winkel mit der x-Achse tan(-2,08 ) = -64,3°

also mit der Y-Achse 27,7° . Das ist aber nur der halbe

Blickwinkel, der ganze also 51,4°.