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Hi Ich würde gerne mal was wissen.
Wenn ich eine Wachsmasse von 1393,67cm^3 habe und diese Masse in einen kugelförmigen Trihter, mit einem Öffnungswinkel von 60 Grad, fülle, welche Höhe erreiche ich dann? Danke schon mal im Voraus
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Einen kugelförmigen Trichter kann ich mir grad nicht so recht vorstellen ... wie sieht denn so etwas aus?

Meinst du eventuell einen kegelförmigen Trichter?

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Ich nehme auch einfach mal an, dass nicht ein kugelförmiger, sondern ein kegelförmiger Trichter gemeint ist, der zudem unten spitzt zuläuft, also keine Abflussröhre hat (ein solcher Körper wird in mathematischen Aufgabenstellungen häufig als Sektkelch bezeichnet).

Wenn ein solcher Kelch einen Öffnungswinkel von 60° hat, dann bilden seine Wände zusammen mit der Oberfläche der eingefüllten Masse im vertikalen Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck. Dazu eine Skizze:

Trichter

 

Nun gilt zum einen für das Volumen V eines Kegels:

V = g * h / 3

mit g: Grundflächeninhalt , h: Höhe

Die Grundfläche wird im vorliegenden Beispiel durch die Oberfläche der eingefüllten Masse gebildet. Für den  kreisförmigen Grundflächeninhalt g gilt dabei:

g = pi * r ²

mit r: Radius der Grundfläche (also der Oberfläche der eingefüllten Masse).

Eingesetzt in die Volumenformel ergibt sich:

V = pi * r ² * h / 3

 

Zum anderen gilt in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a und der Höhe h (Pythagoras):

( a / 2 ) ² + h ² = a ²

<=> h ² = ( 3 / 4 ) a ²

<=> h ² / 3 = a ² / 4 = ( a / 2 ) ²

Da die halbe Seitenlänge ( a / 2 ) gerade dem Radius r der Grundfläche des oben betrachteten Kegels entspricht, gilt also:

r ² = ( a / 2 ) ² = h ² / 3

In der oben fett gesetzten Formel kann daher r ² durch h ² / 3 ersetzt werden. Man erhält:

V = pi * ( h ² / 3 ) * h / 3  = pi * h ³ / 9

Auflösen nach h ergibt:

h = 3√ ( 9 * V / pi )

Setzt man hier nun das gegebene Volumen V = 1393,67 cm ³ ein, so erhält man:

h = 3√ ( 9 * 1393,67 / pi ) = 15,86 cm

Die eingefüllte Masse wird also in dem Kelch (Trichter) 15,86 cm hoch stehen.

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