Gleichung Lösen Ringe Modulo

Question

Aufgabe:

Hallo habe folgende aufgabe gestellt bekommen :

Rechnen Sie in den Ring der ganzen Zahlen modulo 419.
Verwenden Sie das Standardräpräsentantensystem.

Bestimmen Sie in diesem Repräsentantensystem eine Lösung der Gleichung:

(358150)⋅x+298=235

Die Lösung ist ;203

Problem/Ansatz:

Meine Ideen:

Also meine Idde war es die gleichung folgendermaßen umzuschreiben 358⋅(150)^−1 ⋅x+298=235 Leider komme ich nicht auf den Rechenweg. Wäre sehr hilfreich wenn mir jemand diesen geben könnte zum Nachvollziehen .

Comments

Ist das in der Klammer ein Produkt oder einfach nur eine

6-stellige Zahl ?

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ja ist sie in der Klammer steht (358/150) aber das kann man ja als 358*150^-1 schreiben

Answer 1

(358*150^(-1))⋅x+298=235   mod 419     | -298

<=>  (358*150^(-1))⋅x  =  -63 = 356   mod 419   | *150

<=>  358⋅x  =  356*150 =  53400 =  187  mod 419     | *358^(-1)

Und 358^(-1) bestimmst du mit dem erweiterten

euklidischen Algorithmus

(z.B. wie dort http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/erweitertereuklid.htm )

zu  -158 = 261 also hast du

<=>  x    =  187*261  = 203  mod 419

 

Comments

welche zahlen hast du auf dieser seite eingegeben um von 358^(-1) bestimmst ? Um damit dann auf  -158 = 261 ??

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Für 358^(-1)  suchst du ja ein x mit

358*x = 1 mod 419

also 358*x = 1 + n*419

bzw  358*x - n*419 = 1

Also musst du den erweiterten eukl. Alg. mit

419 und 358 starten und bekommst dann

135*419 - 158*358 = 1

also ist das "x" (Das Inverse von 358)

die  - 158 , aber im Standardrepräsentantensystem

also   - 158  + 419 = 261.

Für die Klausur musst du den Euklid

aber sicherlich auch von Hand können.