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Aufgabe:

Sei a>0

a) Zeigen Sie, dass $$\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})\geq\sqrt{a}$$ für jede positive reelle Zahl x.

b) Zeigen Sie, dass die durch $$f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})$$definierte Abbildung $$f: [\sqrt{a}, \infty) \rightarrow [\sqrt{a}, \infty) $$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante $$C = \frac{1}{2}$$ ist, und bestimmen Sie den eindeutig bestimmten Fixpunkt von f.

c) Sei jetzt $$a := 2, x_0 := 2, x_{n+1} := f(x_n)$$ für $$n \in \mathbb{N}$$. Zeigen Sie ohne Benutzung einer Näherung von $$\sqrt{2}$$, dass $$|\sqrt{2}-x_7|<10^{-2}$$.


Problem/Ansatz:

Ich bin an diversen Umformungsversuchen gescheitert und bin für sämtliche Hinweise dankbar!

Bei a) habe ich nur Umformungen wie z.B. $$=\frac{(x- \sqrt{a})^2}{x} \geq 0$$ oder $$\frac{a+x^2}{x} \geq 2 \sqrt{a}$$, was mir irgendwie nix bringt.

Bei b) habe ich nur $$|f(x)-f(y)|=…=\frac{1}{2}|x+\frac{a}{x}-y+\frac{a}{y}|$$ und weiß auch nicht weiter.

Bei c) verstehe ich nicht mal die Aufgabenstellung.

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Zu a)
Beide Seiten sind positiv. Quadrieren liefert
1/4 (x+a/x)^2>=a
Links ausmultiplizieren.
1/4 (x^2+2a+a/x^2)>=a |-a
1/4(x^2-2a+a/x^2)>=0
1/2(x-a/x)^2>=0 → wahre Aussage, also stimmt die Ausgangsungleichung

b) sei x>y ohne Beschränkung der allgemeinheit. Dann ist f(x)>f(y) auf (sqrt(a),+oo)

2*|f(x)-f(y)|= 2*(f(x)-f(y))

=(x-y)+a(1/x-1/y),

<=(x-y) =|x-y|, weil a(1/x-1/y) negativ ist.

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Vielen Dank! Das war ja viel einfacher als gedacht! Dann ist der Fixpunkt $$\sqrt{a}$$ richtig?

Wie kann ich Aufgabenteil c) angehen?

Weiter: genau,für den Fixpunkt gilt x=f(x)

---> x=sqrt(a) , er existiert nach dem banachschen Fixpunktsatz, weil f eine Kontraktion ist

c) schau bei

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Fixpunktsatz_von_Banach

unter Fehlerabschätzung nach: die erste ist nützlich

|x_n-sqrt(2)|<= (1/2)^n /(1/2 ) * 1/2=(1/2)^n

n=7

|x_7-sqrt(2)| <=  1/128 < 1/100 =10^{-2}

Vielen lieben Dank! Jetzt habe ich es auch endlich mal verstanden :-)

Ich habe jetzt für c) die A-Priori Abschätzung benutzt, hoffentlich auch richtig, mit:

$$\frac{\frac{1}{2}^7}{1-\frac{1}{2}}||\frac{3}{2}-\frac{1}{2}||=\frac{1}{2}^7=\frac{1}{128}<\frac{1}{100}=10^{-2}$$

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