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Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute:

\( F\left(x_{1}, x_{2}\right)=79 \cdot x_{1}^{0.48} x_{2}^{0.2} \)

wobei und die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro 7 bzw. 6 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 442 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Markieren Sie die korrekten Aussagen.

a. Bei einem Output von 442 ME werden bei einer Menge \( x_{1} = 15,55 \) die Kosten minimal,
b. Bei einem Output von 442 ME werden bei einer Menge von \( x_{2} = 18,75 \) die Kosten minimal.
c. Der Lagrange-Multiplikator im Kostenminimum beträgt λ = 1,37.
d. Das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren beträgt \( \frac{x_{1}}{x_{2}} = 0.83 \).
e. Im Optimum betragen die Produktionskosten  \( C(x_1, x_2) = 221.35 \)


Problem/Ansatz:

Leider schaffe ich es nicht die Lagrangefunktion abzuleiten und aufzulösen.

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1 Antwort

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Das sollte nicht so schwer sein. Wo liegen genau deine Probleme?

L(x, y, k) = 7·x + 6·y - k·(79·x^0.48·y^0.2 - 442)
L'x = 7 - k·37.92·x^(-0.52)·y^0.2 = 0
L'y = 6 - k·15.8·x^0.48·y^(-0.8) = 0

Avatar von 477 k 🚀

Genau aber habe leider struggles beim auflösen des Gleichungssystems :/

Löse eine Gleichung nach k auf und setz das gefundene in die andere Gleichung ein.

Alternativ. Löse beide Gleichungen nach k auf und setze die Gleichungen gleich.

Lass dir gerne von einem Rechentool wie Wolframalpha oder Photomath helfen.

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