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Aufgabe:

Sei (an) n∈ℕ eine Folge. Unter der Differenzfolge der Folge (an) verstehen wir die Folge

(bn) n∈ℕ mit bn := an+1 − an für alle n ∈ ℕ.


Sei nun (an) eine konvergente Folge. Zeigen Sie nur unter Verwendung der Rechenregeln für konvergente Folgen, dass die Differenzfolge von (an) eine Nullfolge sein muss.


Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll:(

weil wenn das Cauchy-Kriterium erlaubt wäre, steht die Lösung ja schon fast in der Aufgabenstellung aber wir dürfen das Kriterium nicht verwenden.


lg

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Es ist immer hilfreich bei solchen Sachen erstmal alles hinzuschreiben, was man schon aus der Aufgabenstellung annehmen darf, um auf die entsprechenden Definitionen (oder bereits bewiesenes) zurückzugreifen. Wir wissen, dass aeine konvergente Folge ist, d.h.,:

$$ \forall \ \epsilon'>0\ \exists N'\in \mathbb{N}: |a_n-a|<\epsilon',\quad \forall n\geq N'$$

Weniger spannender sieht das dann für an+1 genauso aus:

$$ \forall \ \epsilon''>0\ \exists N''\in \mathbb{N}: |a_{n+1}-a|<\epsilon'',\quad \forall n\geq N''$$

Es ist zu zeigen:

$$ \forall \ \epsilon>0\ \exists N\in \mathbb{N}: |a_{n+1}-a_n-0|=|a_{n+1}-a_n|<\epsilon,\quad \forall n\geq N$$

Versuche nun mit den obigen beiden Argumenten zu arbeiten, um das Unterste zu zeigen. Noch ein Hinweis: Bei solchen Sachen kann es nicht schaden, gewisse Variablen, durch bereits bekannte Werte zu definieren.

Edit: a ist der Wert, wogegen die Folge (an) konvergiert.

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