Beweise zu linearen Abbildungen

Question

Folgende Aussagen sollen bewiesen werden:

Sei K ein Körper und seien k,m,n ∈ ℕ≥1.

a) Sei A∈M_m,n(K). Dann ist A die darstellende Matrix von ƒA bezüglich geeigneter Basen.

b) Für jeden Untervektorraum U des K-Vektorraums Kⁿ  mit Dimension k≥1 existiert eine Matrix A∈M_n,k(K) mit U = ƒ_A(K^k)

Wäre klasse, wenn jemand helfen könnte:).

Answer 1

zu a) Wähle in beiden Räumen die Standardbasen (e₁,...,e_m )

bzw. e₁, ...,e_n und definiere

f(e_i) = i-te Spalte der Matrix A.

Eine lin. Abb. ist ja durch Festlegung auf die Elemente einer Basis

eindeutig definiert.

Dann passt es; denn sei v ∈ K^m , dann gibt es x1,,,,xm ∈ K mit

v = x1*e1 + …..   + xm*em

   also  f(v) = f( x1*e1 + …..   + xm*em)

wegen Linearität

                  =  x1*f(e1) + …..   + xm*f(em)

Und das ist ja x1*1. Spalte von A +... xm*letzte Spalte von A

also das gleiche wie

                                        x1
                                         .
                       A        *      .
                                        .
                                        xm