Nullstellen des charakteristischen Polynoms und Eigenvektoren

Question

gegegeben sei diese Aufgabe:

Es sei Λ die Menge der Eigenwerte von

A := \( \begin{pmatrix} 3 & 5 & 5 \\ 5 & 3 & 5 \\ -5 & -5 & -7 \end{pmatrix} \)

(a) Bestimmen Sie χ_A(X) (charakteristisches Polynom) und dessen Nullstellen. Tipp: 3 ∈ Λ.

(b) Bestimmen Sie mit dem Gaußverfahren Eig_A(λ) = L(λI₃ −A,0_R^3) (Lösungsmenge) für alle λ ∈ Λ.

(c) Bestimmen Sie eine Basis u_{1},u_{2},u_{3} von R^{3} aus Eigenvektoren (hier gibt es eine) sowie U := (u_{1},u_{2},u_{3}), U^{-1}, U^{-1}AU (Def. zur Ähnlichkeit von Matrizen)

EDIT: Korrigierte Version aus Kommenar esetzt: (c) Bestimmen Sie eine Basis u1,u2,u3 von R3 aus Eigenvektoren (hier gibt es eine) sowie U := (u1,u2,u3), U−1, U−1AU.

Kann bitte jemand helfen?

Comments

a)

DET([3 - k, 5, 5; 5, 3 - k, 5; -5, -5, -7 - k]) = (3 - k)·(k + 2)^2

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Hallo

 du müsstest schon sagen, was du nicht kannst, Eigenvektoren bestimmen? Woran scheiterst du dabei?

was EigA(λ) = L(λI3 −A,0R3) bedeutet weiss ich nicht  kannst du das interpretieren?

was ist U-1? soll U eine Matrix aus den Eigenvektoren sein, sollen das Zeilenvektoren sein?

Gruß lul

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Verzeihung, da gab es Formatierungsfehler. Leider kann ich den Beitrag nicht mehr editieren.

Es geht um die Diagonalisierung von Matrizen.

Eig_A(λ) ist der Eigenraum von A.

Ich verstehe nicht ganz, was ich machen soll bzw. wie ich es machen soll.

Soll ich bei b) jetzt die Eigenwerte aus a nehmen und dann das Gaußverfahren für jeden dieser Werte anwenden?

Korrektur c

(c) Bestimmen Sie eine Basis u₁,u₂,u₃ von R³ aus Eigenvektoren (hier gibt es eine) sowie U := (u₁,u₂,u₃), U^-1, U^-1AU (Def. zur Ähnlichkeit von Matrizen) EDIT: In Fragestellung korrigiert. 

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Verzeihung, da gab es Formatierungsfehler. Leider kann ich den Beitrag nicht mehr editieren.

Es geht um die Diagonalisierung von Matrizen.

EigA(λ) ist der Eigenraum von A.

Ich verstehe nicht ganz, was ich machen soll bzw. wie ich es machen soll.

Soll ich bei b) jetzt die Eigenwerte aus a nehmen und dann das Gaußverfahren für jeden dieser Werte anwenden?

ja

Siehe https://www.massmatics.de/merkzettel/#!408:Eigenraum_und_Eigenvektor

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Hallo

 ja , das musst du, um die Eigenvektoren zu finden.

Gruß lul

Answer 1

Eigenwerte hast du nach den Kommentaren

k=3 ==>  Eigenvektoren sind

-t
-t
t

und für k=-2 sind sie 
s
t
-s-t

Also eine Basis von Eigenvektoren z.B.

(-1;-1;1)^T , (-1;0;1)^T , (0;-1;1)^T