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ich soll den Konvergenzradius von \(\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\right)}z^n\) bestimmen. Ich komme mit der Notation nicht wirklich klar, kann man das irgendwie vereinfachen, damit es etwas konventioneller aussieht?

Kann man hier irgendwas mit dem Cauchy-Produkt anstellen?

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Kennst du Abschätzungen nach unten und oben bei Teilsummen der harmonischen Reihe ? Welche?

Kann man hier irgendwas mit dem Cauchy-Produkt anstellen?

Dazu habe ich keine Idee.

Ich kenne die mit \(\log n\), aber das wurde noch nicht in der Vorlesung behandelt.

Ich habe nun auch mal den Tag Cauchy ergänzt. Klick darauf ergibt: https://www.mathelounge.de/tag/cauchy Da erinnert nicht viel an diese Aufgabe. Du kannst ja selbst mal durchschauen.

Hier auch schon mal eine längere Diskussion. https://www.mathelounge.de/400790/zeigen-dass-reihe-konvergiert-aber-cauchy-produkt-divergiert Aber dein LInk ist vielleicht schlauer.

Das war auch nur eine Vermutung, vielleicht völlig falsch.

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Kann man nicht einfach \(\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\vert=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{(n+1)a_{n+1}}\right)=1\) mit \(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k\) rechnen?

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Muss \(a_n\) nicht eine Folge sein...? Oder rechne ich mit der Partialsummenformel \(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k=\frac n{k}\)

\(a_n\) ist eine Folge: \(1,\frac32,\frac{11}6,\frac{25}{12},\frac{137}{60},\frac{49}{20},\dots\).
\(\frac nk\) macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn. \(k\) ist die Laufvariable.

Und das hilft inwiefern? Das ist noch nichts greifbares für mich. Ich korrigiere: \(\displaystyle a_n=\sum_{k=2}^n\frac1k=H_n-1\)

Vielleicht ist es rekursiv leichter: \(a_{n+1}=a_n+\frac1{n+1}\).

Guter Tipp, ich habe es mit Cauchy-Hadamard gemacht:$$r=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - \frac{1}{n+1}}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}} = \lim\limits_{n\to\infty} 1 -\frac{1}{(n+1)\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}} = 1$$

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