Ableitung per Induktion beweisen

Question

Aufgabe:

Ich soll per Induktion beweisen dass

f'(x) = n * x^(n-1)    die Ableitung von

f(x) = x^n ist.

und durch den Induktionsanfang soll ich zeigen, dass f(x) = x differenzierbar ist mit Ableitung f'(x) = 1.

Problem/Ansatz:

IS: n = 1

f(x) = x^1 = f'(x) = 1 * x^(1-1) = 1   stimmt

IS: n -> n+1

(x^(n+1)) = (x^(n) * x) = n * x^(n-1) * x + x^n

= n * x^n + x^n = (n + 1) * x^n

damit habe ich bewiesen, dass n*x^(n-1) die Ableitung von x^n ist.

Ich weiß nicht ob das von der Schreibweise her so stimmt und ich wüsste auch nicht wie ich zeigen soll,

dass f(x) = x differenzierbar ist mit Ableitung f'(x) = 1.

LG

Answer 1

IA: n = 1

f(x) = x^1 = x   ==>    f'(x) = 1 * x^(1-1) = 1   stimmt ???

          Das stimmt nur, wenn (von irgendwoher)  bekannt ist,

 dass zu f(x) = x  die Ableitung   f ' (x) = 1 gehört.

ggf. ist das über die Def. der Ableitung zu begründen.

IS: n -> n+1

f(x) = (x^(n+1)) = (x^(n) * x)

 ==>    f ' (x) = n * x^(n-1) * x + x^n * 1

(wegen der Produktregel) 

                  = n * x^n + x^n = (n + 1) * x^n

damit habe ich bewiesen, dass die Gültigkeit der

Regel für n auch die Gültigkeit der Regel

für n+1 nach sich zieht.

Mit IA und IS  ist durch vollst. Ind. die Regel

für alle n∈N bewiesen.

Du musst aufpassen, wann es  =  und

wann es  ==>   heißen muss.

 

Answer 2

Aloha :)

In deinem Beweis setzt du beim IA als bekannt voraus, dass die Ableitung von \(x\) gleich 1 ist. Im IS setzt du die Produktregel als bekannt voraus. Man kann den Beweis allein mit Hilfe des Differentialquotienten führen.

$$IA:\; n=1$$Prüfe, ob für \(f(x)=x\) der Differentialquotient existiert:$$f^\prime(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{h}{h}=\lim\limits_{h\to0}1=1$$Also gilt \(\left(x^1\right)^\prime=1\cdot x^{1-1}\) bzw. weil hier \(n=1\) ist: \(\left(x^n\right)^\prime=n\cdot x^{n-1}\).

$$IS:\; n\to n+1$$Prüfe, ob für \(f(x)=x^{n+1}\) der Differentialquotient existiert:$$f^\prime(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^{n+1}-x^{n+1}}{h}$$$$=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}(x+h)-x^n\cdot x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}\cdot x+(x+h)^{n}\cdot h-x^n\cdot x}{h}$$$$=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{(x+h)^{n}\cdot x-x^n\cdot x}{h}+\frac{(x+h)^{n}\cdot h}{h}\right)=\lim\limits_{h\to0}\left(x\cdot\frac{(x+h)^{n}-x^n}{h}+(x+h)^{n}\right)$$$$=x\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^n}{h}+\lim\limits_{h\to0}(x+h)^{n}=x\cdot\left(x^n\right)^\prime+x^n$$Jetzt kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhältst weiter:$$=x\cdot nx^{n-1}+x^n=nx^n+x^n=(n+1)x^n$$