Hintereinanderausführung von Matrizen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind:

$$\vec{x}\begin{pmatrix} x,y,z \end{pmatrix}={F}\begin{pmatrix} r,φ,θ \end{pmatrix}^T,{F}\begin{pmatrix} r,φ,θ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} rcos(φ)cos(θ)\\rsin(φ)cos(θ)\\rsin(θ)\end{pmatrix}$$

$$r_{ψ}=(x,y,z)=\begin{pmatrix} cos(ψ) & -sin(ψ) & 0 \\ sin(ψ) & cos(ψ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$

Man soll nun die Jacobimatrix $$G^{´}( r,φ,θ),G=r_{ψ}\circ F$$ wobei ermitteln mit hilfe der Kettenregeln und mit den Hinweis auf Additionstheoreme der Sinus- und Kosinusfunktionen.

Problem/Ansatz: Mein Ansatz war das ich $$r_{ψ}^{´} , F^{´}$$ berechnet habe.

$$F^{´}(r,φ,θ)=\begin{pmatrix} cos(φ)cos(θ) & -rsin(φ)cos(θ) & -rcos(φ)sin(θ)\\ sin(φ)cos(θ) & rcos(φ)cos(θ) & -rsin(φ)sin(θ)\\ sin(θ)& 0 & rcos(φ)\end{pmatrix}$$

$$r^{´}_{ψ}(x,y,z)=\begin{pmatrix} cos(ψ) & -sin(ψ) & 0 \\ sin(ψ) & cos(ψ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Ich weiß wie es Formal funktioniert, aber kann es jetzt hier nicht anwenden, kann mir das jemand bitte vorrechnen.$$(r_{ψ}\circ F)^{´}( r,φ,θ)=r_{ψ}^{´}(F (r,φ,θ))*F^{´} (r,φ,θ)$$

Answer 1

Aloha :)

Das sieht doch schon gut aus. in \(F'(r,\varphi,\theta)\) muss es an Position 3,3 nicht \(r\cos\varphi\) heißen,sondern \(r\cos\theta\). Da die Matrix \(r'_{\Psi}\) eine "Konstante" ist, die nur vom Parameter \(\Psi\) abhängt, brauchst bzw. kannst du nichts in \(r'_{\Psi}\) einsetzen. Du musst die beiden Matrizen nur noch miteinander muiltiplizieren und bist dann ferstig.

Comments

Ist $$r_{Ψ}^{´}$$ übehaupt hier von mir richtig ausrechnet ?, weil sich da eigentlich nichts von der ausgangsmatrix geändert hat. Muss ich hier jetzt $$r_{Ψ}^{´}*F^{´}$$ rechnen?

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Ja, du hast \(r'_\Psi\) richtig berechnet. Wenn du genau hinschaust, erkennst du, dass die Funktion von der Form \(r_\Psi=M\cdot\vec x\) ist. Die konstante Matrix \(M\) wird mit dem Ortsvektor \(\vec x=(x,y,z)^T\) multipliziert. Beim Ableiten bleibt daher einfach die Matrix \(M\) übrig.

Jetzt musst du nur noch die beiden Matrzen multiplizieren, also \(r'_\Psi\cdot F'\) ausrechnen.

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Ich habe das jetzt ausgerechnet und komme auf das hier: ist das jetzt mein gesuchtes $$G^{'}?$$ 

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Die dritte Zeile stimmt. Bei den anderen Elementen bekomme ich raus:

$$a_{11}=\cos\Psi\cos\varphi\cos\theta-\sin\Psi\sin\varphi\cos\theta$$$$a_{12}=-r(\sin\Psi\cos\varphi\cos\theta+\cos\Psi\sin\varphi\cos\theta)$$$$a_{13}=r(\sin\Psi\sin\varphi\sin\theta-\cos\Psi\cos\varphi\sin\theta)$$$$a_{21}=\sin\Psi\cos\varphi\cos\theta+\cos\Psi\sin\varphi\cos\theta$$$$a_{22}=r(\cos\Psi\cos\varphi\cos\theta-\sin\Psi\sin\varphi\cos\theta)$$$$a_{23}=-r(\sin\Psi\cos\varphi\sin\theta+r\cos\Psi\cos\sin\varphi\sin\theta)$$Die Winkelfunktionen kann man bestimmt noch zusammenfassen, aber die Freude daran möchte ich dir nicht nehmen ;) Nee, im Ernst, schau z.B. mal auf wolframalpha, ob die Terme mit deinen identisch sind.

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Ist das so richtig ?

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Bei \(a_{13}\) und \(a_{23}\) bekomme ich:

$$a_{13}=r(\sin\Psi\sin\varphi\sin\theta-\cos\Psi\cos\varphi\sin\theta)$$$$=-r\sin\theta(\cos\Psi\cos\varphi-\sin\Psi\sin\varphi)$$$$=-r\sin\theta\cos(\Psi+\varphi)$$

$$a_{23}=-r(\sin\Psi\cos\varphi\sin\theta+\cos\Psi\sin\varphi\sin\theta)$$$$=-r\sin\theta(\sin\Psi\cos\varphi+\cos\Psi\sin\varphi)$$$$=-r\sin\theta\sin(\Psi+\varphi)$$

Alles andere sieht richitg aus ;)