Wie bestimmt man die Punkte mit dem minimalen Abstand zum Ursprung bei der folgenden Hyperbel?
6x2-4y2=1
Gruß
Möchtest du Extremwertaufgaben üben oder Kegelschnitte?
Kegelschnitte vgl z.B. https://www.mathelounge.de/616666/minimaler-abstand-zum-ursprung-bei-einer-ellipse
Es sind in dem trivialen Fall die Schnittpunkte der Hyperbel mit der x-Achse.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)#Hyperbel_in_1._Hauptlage
6x^{2}-4y^{2}=1 , üblicherweise x^2/ a^2 - y^2 / b^2 = 1. x^{2} / (1/6) - y^{2} / (1/4) =1
D.h. 1/6 entspricht dem gesuchten a^2.
1/6 = a^2
a = ± √(1/6) ≈ 0.408248
Umgestellt als Funktionf ( x ) = 1/2 * √ ( 6x^2 - 1 )
Punkt mit dem kürzesten Abstand( x | 0 ) 1/2 * √ ( 6x^2 - 1 ) = 0x = 0.41( 0.41 | 0 )
Punkt mit dem kürzesten Abstand
Es gibt 2 Punkte (und √(1/6) ist nicht 0,41).
Allgemein
Pythagoras
a^2 = x ^2 + [ f(x) ] ^2
1.Ableitung bilden, zu null setzen, Extremwert berechnen.
Die vorliegende Hyperbel liegt folgendermassen im Koordinatensystem:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=6x%5E2-4y%5E2%3D1
Sie lässt sich nicht einfach "als Funktion" schreiben. https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)#Hyperbel_in_1._Hauptlage
Das Quadrat des Abstandes vom Ursprung kann man aber so wie du es gemacht hast, benutzen, um die Punkte zu bestimmen, die am nächsten beim Koordinatenursprung liegen.
( d(Punkt (x,y) auf Kurve, Ursprung) )^2 = x^2 + y^2, wobei die Bedingung 6x^{2}-4y^{2}=1 erfüllt sein muss. Bedingung geschickt einsetzen und Minimum bestimmen.
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