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Wie bestimmt man die Punkte mit dem minimalen Abstand zum Ursprung bei der folgenden Hyperbel?

6x2-4y2=1


Gruß

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Möchtest du Extremwertaufgaben üben oder Kegelschnitte?

Kegelschnitte vgl z.B. https://www.mathelounge.de/616666/minimaler-abstand-zum-ursprung-bei-einer-ellipse

3 Antworten

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Es sind in dem trivialen Fall die Schnittpunkte der Hyperbel mit der x-Achse.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)#Hyperbel_in_1._Hauptlage

6x^{2}-4y^{2}=1      , üblicherweise x^2/ a^2 - y^2 / b^2 = 1. 

x^{2} / (1/6) - y^{2} / (1/4) =1

D.h. 1/6 entspricht dem gesuchten a^2.

1/6 = a^2

a = ± √(1/6) ≈ 0.408248

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Umgestellt als Funktion
f ( x ) = 1/2 * √ ( 6x^2 - 1 )

gm-53.JPG

Punkt mit dem kürzesten Abstand
( x | 0 )
1/2 * √ ( 6x^2 - 1 ) = 0
x = 0.41
( 0.41 | 0 )

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Punkt mit dem kürzesten Abstand

Es gibt 2 Punkte (und √(1/6) ist nicht 0,41).

Allgemein

gm-54.jpg

Pythagoras

a^2 = x ^2 + [ f(x) ] ^2

1.Ableitung bilden, zu null setzen, Extremwert berechnen.

Die vorliegende Hyperbel liegt folgendermassen im Koordinatensystem:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=6x%5E2-4y%5E2%3D1

Skärmavbild 2019-07-19 kl. 00.03.43.png

Sie lässt sich nicht einfach "als Funktion" schreiben. https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)#Hyperbel_in_1._Hauptlage

Das Quadrat des Abstandes vom Ursprung kann man aber so wie du es gemacht hast, benutzen, um die Punkte zu bestimmen, die am nächsten beim Koordinatenursprung liegen.

( d(Punkt (x,y) auf Kurve, Ursprung) )^2  = x^2 + y^2, wobei die Bedingung 6x^{2}-4y^{2}=1 erfüllt sein muss. Bedingung geschickt einsetzen und Minimum bestimmen.

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